Interval Spolehlivosti pro Rozptyl,

Při použití vzorku vypočítat statistiku jsme odhadnout populační parametr. Je to jen odhad a vzorek vzhledem k povaze kreslení vzorku nemusí vytvořit hodnotu (statistiku), která se blíží skutečné hodnotě (parametru).

můžeme vypočítat interval spolehlivosti o statistice a určit, kde může existovat skutečný a často neznámý parametr. To zahrnuje výpočet statistiky rozptylu.

pokud byste měli nakreslit mnoho různých vzorků stejné velikosti z populace a vykreslit statistiku rozptylu, výsledné rozdělení pravděpodobně odpovídá rozdělení χ2. Vykreslení prostředků vytváří normální rozdělení, které je symetrické a vytváří symetrické intervaly spolehlivosti. Rozložení χ2 není symetrické a vytvoří asymetrické intervaly.

Vzorec

interval spolehlivosti vzorec je

$$ \large\displaystyle \frac{\left( n-1 \right){{y}^{2}}}{\chi _{\frac{\alpha }{2},\text{ }n-1}^{2}}\le {{\sigma }^{2}}\le \frac{\left( n-1 \right){{y}^{2}}}{\chi _{1-\frac{\alpha }{2},\text{ }n-1}^{2}}$$

Kde s2 je výběrový rozptyl a n je velikost vzorku. Stupně volnosti jsou n-1. Poznámka: budete muset zadat tabulku χ2 dvakrát pro každou stranu intervalu.

příklad

řekněme, že máme 25 vzorků a vypočítali jsme rozptyl vzorku na 47. Jaký je 90% interval spolehlivosti ohledně rozptylu? Jinými slovy, v jakém rozsahu pravděpodobně existuje skutečný rozptyl populace?

stupně volnosti jsou df = 25-1 = 24. Pomocí tabulky χ2 tedy zjistíme, že dolní hodnota χ2 je 36.42 a horní je 13.85. Pomocí výše uvedeného vzorce pak můžeme vypočítat interval spolehlivosti.

$$ \large\displaystyle \begin{array}{l}\frac{\left( 25-1 \right)47}{\chi _{\frac{0.1}{2},\text{ 25}-1}^{2}}\le {{\sigma }^{2}}\le \frac{\left( 25-1 \right)47}{\chi _{1-\frac{0.1}{2},\text{ 25}-1}^{2}}\\\frac{\left( 24 \right)47}{\chi _{0.05,\text{ 24}}^{2}}\le {{\sigma }^{2}}\le \frac{\left( 24 \right)47}{\chi _{0.95,\text{ 24}}^{2}}\\\frac{\left( 24 \right)47}{36.42}\le {{\sigma }^{2}}\le \frac{\left( 24 \right)47}{13.85}\\30.97\le {{\sigma }^{2}}\le 81.44\end{array}$$

ujistěte se, že používáte výběrový rozptyl přímo. Někdy vám může být dána směrodatná odchylka vzorku – v tomto případě musíte tuto hodnotu umocnit a použít rozptyl vzorku ve výše uvedeném vzorci.

související:

Intervaly Spolehlivosti MTBF (článek)

Toleranční Intervaly pro Normální Rozdělení na Základě souboru Údajů (článek)

Bodové a Intervalové Odhady (článek)