Konzistentní Odhad

11.2.3 Rozptyl Snížení

zběžné vyšetření spektrální odhady pro průřez vodiče série v Číslech 5 a 6 ukazuje značnou variabilitu napříč frekvencemi, tak moc, že je obtížné rozeznat, celková struktura ve spektrální odhady bez slušné množství studií. Všechny přímé spektrální odhady trpí touto vlastní trhlinou, což lze vysvětlit zvážením distribučních vlastností s^X(d)(f). Za prvé, pokud f není příliš blízko k 0, nebo f(N), a v případě SW(⋅) splňuje mírné správnosti stavu, pak 2S^w(d)(f)/Sw(f)=dx22; tj., rv 2S^w(d)(f)/Sw(f) je přibližně stejné jako v rozdělení chi-square rv s 2 stupni volnosti. Pokud se nepoužívá zužování, f se považuje za” ne příliš blízko ” 0 nebo f (N), pokud 1 / (n-p) Δt< f<f (N)-1 / (n-p)Δt; pokud zužující se používá, musíme nahradit 1/(n-p)Δt větší horizontu, což odráží větší šířkou centrální lalok spektrální okno (například termín pro Hanning dat kužel je přibližně 2/(n-p)Δt takže f je “ne moc blízký”, pokud 2/(n-p)Δt<f<f(N)-2/(n-p)Δt).

protože chí-kvadrát rv xv2 s v stupni volnosti má rozptyl 2u, máme aproximaci V=Sw2(f). Tento výsledek je nezávislý na počtu Wt, máme: na rozdíl od statistik, jako je průměr vzorku nezávislé a identicky distribuované Gaussovské rvs, rozptyl S^W(d)(f) neklesne na 0, jak velikost vzorku n-p dostane větší (s výjimkou nezajímavé případě Sw(f)=0). Tento výsledek vysvětluje choppiness přímých spektrálních odhadů znázorněných na obrázcích 5 a 6. Ve statistické terminologii je S^W(d)(f) nekonzistentní odhad Sw(f).

kde Wm(⋅) je vyhlazení okna, jejichž vyhlazení vlastnosti jsou řízeny vyhlazovacího parametru m. Slovy, odhad S^W (lw) (⋅) se získá konvolvováním vyhlazovacího okna s přímým spektrálním odhadem s^w (d) (⋅). Typické vyhlazovací okno má téměř stejný vzhled jako spektrální okno. Existuje acentrální lalok se šířkou, kterou lze nastavit vyhlazovacím parametrem m: čím širší je tento centrální lalok, tím hladší bude S^W(w) (⋅). K dispozici může být také sada nepříjemných sidelobes, které způsobují vyhlazení úniku okna. Přítomnost vyhlazení okno úniku je snadno detekován překrytím pozemky S^W(lw)(⋅) a S^W(d)(⋅) a hledat rozsahy frekvencí, kde bývalý nezdá být vyhlazené verze druhé.

statistické vlastnosti S^W(lw)(.) jsou sledovatelné kvůli následujícímu velkému výsledku vzorku. Pokud S^W(d)(⋅) je ve skutečnosti periodogram (tj., jsme se zužující hodnoty Wt), sada rvs S^W(d)(j/(n−p) ∆ T),j=1,2,…,j,, se přibližně po dvou nekorelované, s každý rv je úměrná k χ22, rv (zde J je největší celé číslo takové, že J/(n-p)<1/2). Pokud jsme použili zužující se k formě Sw(d)(⋅), podobné tvrzení je pravdivé, přes menší sadu rvs definovanými na hrubší rastr rovnoměrně rozložených frekvence—jako stupeň zužující se zvyšuje, počet přibližně nekorelované rvs klesá. Za předpokladů, že sdf Sw(⋅) je pomalu se měnící v celé frekvencí (prewhitening pomáhá, aby to pravda) a že centrální lalok vyhlazení okno je dostatečně malé ve srovnání s rozdíly v Sw(⋅), z toho vyplývá, že S^W(d)(f) v Eq. (11.15)lze aproximovat lineární kombinací nekorelovaných χ22 RV. Standardní argument “ekvivalentní stupně volnosti” pak může být použit k aproximaci rozdělení S^W(lw)(f). (viz Eq. (11.17) později).

kde C^τ.W (d) , je odhad ACV uvedený v Eq. (11.9) odpovídající S^W(d)(.) a {wt.m} je lag okno (to lze považovat za inverzní Fourierovu transformaci vyhlazovacího okna Wm (⋅)). Ve skutečnosti, protože S^W(d)(.) je trigonometrický polynom, všechny diskrétní konvoluce tvaru ΣkWm (f-fk’) S^W (d) (fk’) lze také vypočítat pomocí Eq. (11.16) s vhodnou volbou hodnot wt, m (podrobnosti viz bod 6.7). Naše dva praktické způsoby výpočtu S^W (l, w) (.) tedy výtěžek ekvivalentní odhady. Není-li diskrétní konvoluce dostatečně krátká, Eq. (11.16) je výpočetně rychlejší.

dobrou aproximací,kde v je tzv. ekvivalentních stupňů volnosti pro S^W(lw)(f) a je dána vztahem v=2(n−p)BwΔt/Ch. Zde Bw je míra šířky pásma vyhlazovacího okna Wm(⋅)a) n d lze vypočítat pomocí BW=1 / Δt T t=−(n−p-1)n-p-1wT, m2;;na druhou stranu,Ch závisí pouze na kužel aplikuje na hodnoty Wtand může být vypočítaný Ch=(n−p)∑1=p+1nht4Note, že, pokud nebudeme výslovně kužel, pak ht=1/n−pand proto Ch>1; pro typické údaje kužel, Cauchyho nerovnost nám říká, že Ch>1(pro příklad, Ch≈1.94 pro Hanning dat kužel). Ekvivalentní stupně volnosti pro S^W (lw) (f) se tak zvyšují, jak zvyšujeme šířku pásma vyhlazovacího okna a snižujeme, jak zvyšujeme stupeň zužování. Rovnice (11.17) nám říká, že E≈SW (f) a že V SW SW2 (f) / v, takže zvýšení v snižuje v.

procento bodů ην(α) jsou tabelována v řadě učebnic nebo může být vypočítána pomocí algoritmu dána Nejlepší a Roberts

který má šířku, která je nezávislá na S^W(lw)(.). Toto je důvod pro vykreslování odhadů sdf na decibelové (nebo logaritmické) stupnici.

kde m je převzat být kladné celé číslo a τ=τ/m. To mas okno je snadno vypočítat a má sidelobes, jehož obálka rozpadá jako f-4 tak, že vyhlazení okno úniku je zřídka problém. Pro dobrou aproximaci je šířka pásma vyhlazovacího okna pro okno parzen lag dána BW=1.85 / (mΔt). Jak se m zvyšuje, šířka pásma vyhlazovacího okna se snižuje a výsledný odhad zpoždění okna se stává méně hladkým vzhledem. Přidružené ekvivalentní stupně volnosti jsou dány přibližně v=3,71 (n-p) / (mCh). Parzen lag okno pro m = 32 a jeho přidružené vyhlazovací okno jsou znázorněny na obrázku 7.

obr.7. Parzen lag okno (a) a odpovídající vyhlazovací okno (b) pro m = 32. Šířka pásma vyhlazovacího okna jebw = 0,058.

Jako příklad, viz Obrázek 8(a) ukazuje postcolored mas okno odhad pro drát, vlna měřidlo dat (plná čára), spolu s odpovídající postcolored přímé spektrální odhad (tečky, tyto zobrazují stejný odhad, jak je znázorněno na Obrázku 6(b)). Zde bylo použito okno parzen lag s hodnotou m=237 pro parametr vyhlazovacího okna (odpovídající ekvivalentní stupně volnosti v je 64). Tato hodnota byla zvolena po nějaké experimentování a zdá se, produkovat mas okno odhad, který zachycuje všechny důležité spektrální vlastnosti indikována přímé spektrální odhad pro frekvence mezi 0,4 a 4.0 Hz (poznámka, nicméně, že tento odhad stěrů z vrcholu mezi 0,0 a 0,4 Hz spíše špatně). Máme také vyneseny křížem, jehož svislá výška představuje délku intervalu spolehlivosti 95% pro 10 ⋅ log10(SX(f)) (na základě postcolored mas okno odhad) a jehož horizontální šířka představuje vyhlazení okna šířka pásma BW

Obr.8. Postcolored Parzen mas okno spektrální odhad—plná křivka na obrázku (a)—a WOSA spektrální odhad-objemová křivka (b)—pro drát, vlna odhadnout časové řady. Parametr vyhlazovacího okna pro okno parzen lag byl m = 237, čímž se získá v = 64 ekvivalentních stupňů volnosti. Spektrální odhad WOSA byl vytvořen pomocí hanningova zúžení dat na blocích s 256 datovými body, přičemž sousední bloky se překrývají o 50%. Ekvivalentní stupně volnosti pro tento odhad jsou v = 59.

spektrální odhady WOSA. Podívejme se nyní na druhý společný přístup ke snížení rozptylu, jmenovitě Welchovo překrývající se průměrování segmentů (Welch; Carter a odkazy v nich uvedené). Základní myšlenkou je rozdělit časovou řadu na několik bloků (tj., segmenty), vypočítat přímé spektrální odhad pro každý blok, a pak produkovat WOSA spektrální odhad v průměru tyto spektrální odhady společně. Obecně se bloky mohou překrývat, přičemž stupeň překrytí je určen stupněm zužování—čím těžší je stupeň zužování, tím více by se bloky měly překrývat (Thomson ). Tedy, kromě toho, na začátku a na konci časové řady, údaje, hodnoty, které jsou silně zúžené v jednom bloku jsou lehce zúžené v jiném bloku, tak intuitivně jsme se zachytit “informace” ztracena v důsledku zužující se v jednom bloku z bloků překrývajících. Protože to může být provedena v výpočetně efektivní módu (pomocí rychlé Fourierovy transformace algoritmus) a protože to může zvládnout velmi dlouhé časové řady (nebo časovou řadu s časově proměnnou spectmm), WOSA odhad schéma je základem pro mnoho komerčních spektrální analyzátory na trhu.

kde nn je celkový počet bloků a s je celé číslo posun faktor splňující 0<s≤n a s(nB-1)=n-ns (všimněte si, že blok pro j=0 využívá data hodnoty χ1,…, Xns, zatímco blok pro j=nB-1používá Xn-ns+1,…, Xe).

(zde ht=0 podle definice pro všechna t>ns). S=ns / 2) s zúžením dat Hanning (běžné doporučení v technické literatuře), lze to aproximovat jednoduchým vzorcem v 36 36nB21(19nB-1). Tím pádem, jak se počet bloků nB zvyšuje, ekvivalentní stupně volnosti se také zvyšují, čímž se získá spektrální odhad se sníženým rozptylem. Pokud SX(⋅) má poměrně nevýrazný sdf, nemůžeme však, aby nB libovolně malé, aniž by vznikly vážné předsudky v jednotlivých přímé spektrální odhady a to především v důsledku ztráty rozlišení. (Podrobnosti o výše uvedených výsledcích viz bod 6.17.)

Obrázek 8(b) ukazuje WOSA spektrální odhad pro drát, vlna měřidlo dat (plná čára). Tato řada má n=4096 datových hodnot. Některé experimenty naznačily, že velikost bloku n=256 a Hanning dat kužel jsou rozumné možnosti pro odhad sdf mezi 0,4 a 4.0 Hz pomocí WOSA. S 50% blok překrývají, posun faktorem je s=n/2=128; celkový počet bloků je nB=1_δ(n−ns)+1=31; a v, což je ekvivalent stupňů volnosti, je přibližně 59. 31 individuálních přímých spektrálních odhadů, které byly zprůměrovány dohromady, aby vytvořily odhad WOSA, jsou zobrazeny jako tečky na obrázku 8(b).

Máme také vynesou “šířka pásma/interval” křížem krážem podobné jako na Obrázku 8(a), ale nyní “šířka pásma” (tj. horizontální šířka) je vzdálenost v frekvence přibližně mezi nekorelované spektrální odhady. Th je míra šířky pásma je funkcí velikosti bloku ns a zúžení dat použitého ve WOSA. Pro zúžení Hanning je šířka pásma přibližně 1,94 / (nsΔt). Ten prochází v Číslech 8(a) 8(b) jsou velmi podobné, což znamená, že statistické vlastnosti postcolored Parzen mas okna a WOSA spektrální odhady jsou srovnatelné: vskutku, skutečné odhady se úzce shodují, s odhadem WOSA je mírně hladší vzhled.

Multitaper Spektrální Odhady. Zajímavým altemativem pro lag window nebo wosa spektrální odhad je multitaperův přístup Thomsona . Multitaper spektrální odhad lze považovat za způsob výroby přímého spektrálního odhadu s více než dvěma ekvivalentními stupni volnosti(typické hodnoty jsou 4 až 16). Jako takový, metoda multitaper se liší v duchu od ostatních dvou odhadů v tom, že se nesnaží produkovat vysoce vyhlazené spektra. Zvýšení stupně svobody od 2 do 10 je dost, ale zmenšit šířku 95% intervalu spolehlivosti pro sdf o více než jeden řád, a tedy ke snížení variability spektrální odhad do bodu, kde lidské oko může snadno discem celkové struktury. Podrobné diskuse o přístupu multitaper jsou uvedeny v kapitole a 7 z. Zde pouze načrtneme hlavní myšlenky.

(Thomson zastánci adaptivně vážení S^k,X(mt)(f), spíše než jednoduše v průměru dohromady). Srovnání této definice Pro s^k, X (mt) (⋅) s Eq. (118) ukazuje, že S^k,X(mt)(⋅) je ve skutečnosti jen přímé spektrální odhad, takže multitaper odhad je jen průměrný přímé spektrální odhady využívající ortonormální soubor zužuje. Za určitých mírných podmínek se ortonormalita zúžení promítá do frekvenční oblasti jako přibližná nezávislost každého jednotlivého s^k, X (mt) (f); tj. s^j. X (mt) (f). Přibližné nezávislost znamená, že 2KS^k,X(mt)(f)/SX(f)=dX22k přibližně tak, že ekvivalentních stupňů volnosti pro S^X(mt)(f) je roven dvojnásobku počtu údajů se zužuje zaměstnán.

V slova, s výhradou omezení, že ortogonální ke všem nižšího řádu dpss zužuje, kth-aby dpss kužel je “optimální” v omezeném smyslu, že sidelobes jeho spektrální okna jsou potlačeny stejně jako je to možné měřené koncentrační poměr. Metody výpočtu zúžení dat dpss jsou popsány v kapitole 8.

v řadě článků Slepian (a odkazy v nich) rozsáhle studoval povahu dpss. Jeden důležitý fakt, že popisuje, je, že poměr koncentrací λk(n,W) přísně klesá k růstu takovým způsobem, že λk(n,W) je blízko k jednotě, pro k<2nW Δt, po které se rychle blíží k 0 s rostoucím k (hodnota 2nWΔt se někdy nazývá Shannon číslo). Od λk(n,W), musí být blízko k jednotě {ht,k} je slušná data kužel, multitaper spektrální odhad je omezen na použití ve většině-a, v praxi, obvykle méně pak— 2nWΔt ortonormální dpss zužuje.

příklad multitaperova spektrálního odhadu je znázorněn na obrázku 9. Levý sloupec grafů ukazuje zúžení dat DPSS KTH pro n=4096, nW=4 / Δt a k v rozmezí od 0 (horní graf) do K-1=5 (Spodní graf). Tenké vodorovné čáry v každém z těchto obrázků patrné, nulové úrovni, takže, vzhledem k tomu, že nultý-aby dpss je striktně pozitivní všude (ale docela blízko k 0 u t=1 a t=n), tím vyšší pořadí zužuje předpokládat, že obě kladné a záporné hodnoty. Všimněte si také, že nultý-aby kužel silně downweights hodnot časové řady v blízkosti t=1 a t=n, ale že tyto hodnoty jsou uvedeny postupně větší váhu tím, že vyšší řád se zužuje (jeden výklad multitapering je, že čím vyšší pořadí, zužuje se zachytit informací “ztratil” když ale jeden datový kužel se používá). Plná křivka na Obrázku 9(b) ukazuje multitaper spektrální odhad S^X(mt)(⋅) pro drát, vlna měřidlo údajů na základě těchto 6 dpss zužuje, vzhledem k tomu, že tečky ukazují šest jednotlivých přímé spektrální odhady S^K. X(mt)(⋅). Všimněte si, že počet svíček, které jsme použili, je pod Shannon číslo 2nWΔt=8, a to v odpovídající stupně volnosti, je zde 2K=12. Na multitaper spektrální odhad je hodně kostrbatý vzhled, než buď mas okno spektrální odhad Obrázek 8(a) nebo WOSA odhad z Obrázku 8(b), z nichž oba mají výrazně vyšší počet ekvivalentních stupňů volnosti ( v=64 a v=59). Variabilita multitaperova spektrálního odhadu je však dostatečně malá, takže oko může snadno detekovat celkovou strukturu (srov. S^X (mt) (⋅) se dvěma spektrálními odhady na obrázku 5), a protože není vysoce vyhlazený, multitaperův odhad je výrazně lepší při zachycení spektrální struktury poblíž f=0.

obr.9. Multitaper spektrální odhad

na Základě výkonnosti, meze, Bronez [16 tvrdí, že multitaper spektrální odhad má statistické vlastnosti, které jsou lepší než WOSA pro sdfs s velmi vysoký dynamický rozsah (více výzkum je nutný, nicméně, ověřit, že tyto kroky přeložit do skutečné výhody v praxi). Ve srovnání s prewhitening, multitapering je užitečné v situacích, kdy únik je concem ale to není praktické, aby pečlivě design prewhitening filtry (k tomu dochází, například, průzkum geofyziky vzhledem k obrovskému objemu časové řady běžně shromažďují). Konečně, poznamenáváme, že Thomson a Chave [17 popisují přitažlivé schéma, ve kterém se multitapering používá ve spojení s WOSA.