nLab Cantor'větu
Shrnutí
Georg Cantor ukázal, mnoho vět, ale jeden obvykle nazývá Cantorova věta je první netriviální věta Cantorova nové teorie: že některá nekonečna jsou větší než ostatní, zejména, žádné nekonečné kardinální číslo (nebo nekonečná množina) generuje větší tím, že výkon nastavit.
(věta platí pro všechny množiny, ne jen nekonečné, i když je to docela zřejmé pro konečné množiny.)
Cantorova věta by neměla být zaměňována s CantorâSchroederâBernsteinova věta (viz kardinální číslo), což je různých (ale související, jak je důležité, aby ospravedlnit Cantorova výklad jeho věta).
Historie
Před Cantor, lidí tendenci myslet na nekonečno (ať už věřili v to, nebo ne) jako absolutní koncept: všechny nekonečna jsou rovnocenné. To bylo si všiml (Galileo, například), že je možné dát nekonečný soubor self-injekce, která není surjection; například zahrnutí sudých celých čísel do celých čísel zdvojnásobením. Tak tady jsou dvě nekonečna ânekonečno EE i celá čísla a nekonečno NN všech integersâ, které jsou ve skutečnosti ekvivalentní, i když na první pohled se zdá, že EE je menší.
Cantor ukázal, že taková ekvivalence selhává s reálnými čísly RR: žádná mapa z NN na RR nemůže být surjektivní (takže RR je nespočetná). Jeho první argument byl ad hoc, ale pak to zobecnil diagonálním argumentem, aby ukázal, že žádná mapa z žádné množiny SS na její mocninu by nemohla být surjektivní. (To se vztahuje uncountability RR, protože Cantor zjistil, bijekce mezi RR a ð”N\mathcal{P}N, což můžeme považovat za instanci CantorâSchröderâBernsteinova Věta.) Jak je zřejmé, prosté zobrazení (singleton mapa) od SS ð”S\mathcal{P}S, Cantor k závěru, že mohutnost jeden je striktně menší než mohutnost ostatních.
Cantorova argumentace, stejně jako celá jeho teorie množin, byla v té době kontroverzní. Ti, kteří stejně jako Kronecker věřili, že veškerá matematika by měla být konečná matematika, považovali to za bezvýznamné. Ještě umírněnější časní konstruktivisté, jako Brouwer a Weyl, zjistili, že to nemá smysl. (Zejména, říká, že nic přímo o tom, RR, od bijekce mezi RR a ð”N\mathcal{P}N není konstruktivně platné, i když cantorův původní důkaz, že RR je nespočetné mohou být provedeny do práce.)
níže uvedené verze věty jsou však konstruktivně platné a věta je dokonce prediktivně platná( pokud má člověk množiny funkcí); moderní konstruktivisté je obecně přijímají jako věty. (Výklad však není tak jasný.) Jsou to ve skutečnosti věty ve vnitřním jazyce jakéhokoli topos (a věta je věta v jakémkoli Î \Pi-pretopos).
prohlášení a důkazy
věta
(Lawvereova verze.)
vzhledem k množinám SS a VV předpokládejme, že existuje surjekce z SS na sadu funkcí Sâ ‘ VS \to V(také psáno V SV^S). Pak každá mapa n:VâVn\tlustého střeva V \k V, má pevný bod; to znamená, že n(x)=xn(x) = x pro nějaké x:Vx\colon V.
( To zobecňuje na Lawvere je pevný bod veta.)
Důkaz
Nechť f:Sâ(SâV)f\colon S \(S \k V) být jakákoliv funkce, a vezměme funkci g:SâVg\tlustého střeva S \V dané
To je, když jeden používá mazání, interpretovat ff jako funkce z TAKSS \times S VV, tak gg je definována pomocí diagonální mapě Î S\Delta_S jako
nyní předpokládejme, že ff je surjektivní. Pak tam musí být nějaký prvek a:Sa\colon Y takové, že f(a)=gf(s) = g. Ale pak
takže g(a)g(a) je pevný bod nn.
přítomnost diagonální mapy Î ” s\Delta_S zde vysvětluje, proč se tento důkaz nazývá diagonální argument. (Toto vysvětlení je anachronické, ale morálně správné.) Lawvereâs důkaz také vysvětluje (ve skutečnosti zobecňuje) YYâ nebo pevný bod combinator v bez typu lambda-kalkulu, kde Y(n)Y(n) je pevný bod pro libovolný výraz nn.
z toho bezprostředně (i konstruktivně) vyplývá, že pokud má VV vlastní mapování bez pevného bodu, pak žádná mapa z SS do sÂVS \to v nemůže být surjekcí. Ve skutečnosti máme něco o něco silnějšího než (ale klasicky ekvivalentní) selhání ff jako surjekce: ve skutečnosti existuje prvek gg SâVS \to v, který se nerovná žádné hodnotě v rozsahu ff. (Pokud má VV vztah apartness, pak můžete získat ještě silnější výsledek pro odpovídajícím způsobem silnější hypotézu na nn, ale to neplatí pro níže uvedené verze.)
věta
(Cantorova verze.)
Vzhledem k tomu, sadu SS, není surjection z SS moci nastavit ð”S\mathcal{P}S.
důkaz
Nechť VV je množina pravdivých hodnot a nechť n: VâVN \ colon V \ to V je negace. Protože nn nemá pevný bod, použijte větu .
Všimněte si, že i když negace nemá všechny své obvyklé vlastnosti v konstruktivní matematiky, p=Âpp = \neg{p} je stále nemožné.
následující verze je klasicky ekvivalentní předchozí verzi (alespoň pokud zkontrolujete, že je obydlena ð”s\mathcal{P}S), ale není konstruktivně ekvivalentní. (Ostatně, na rozdíl od Věty , je to zřejmě nemá žádný konstruktivní analogové když ð”S\mathcal{P}S je nahrazen V SV^S.) Tento argument je z Propozice 2.8.8 Taylor je Praktické Základy (i když nevím, jestli je to opravdu vznikl zde).
věta
(Taylorova verze.)
vzhledem k množině SS neexistuje žádná injekce z ð ” s\mathcal{P}S do SS.
důkaz
nechť i: ð “Sâ’ Si \ colon \ mathcal{P}s \to s je libovolná funkce. Definujte f: sÂð”Sf \ colon s \ to \ mathcal{P}s takto:
pokud je ii injekce, pak ff je zatažení ii a tedy surjekce, což je Teorémem nemožné .
samozřejmě, Cantor také dokázal větu, ale jeho důkaz nebyl konstruktivní.
můžeme kombinovat Věty a do těchto i obecnější tvrzení, převzaté z D4.1.8 Johnstone je Slon.
věta
(Johnstonova verze.)
vzhledem k množině SS nelze její mocninnou množinu ð ” s\mathcal{P}S Vyjádřit jako podkvocient SS.
Důkaz
Předpokládejme, že bychom měli sada BB, injekci jsem:BâªSi\tlustého střeva B \hookrightarrow S a surjection f:Bâð”Sf\tlustého střeva B \to \mathcal{P}. Pak preimage funkce i *:ð”Sâð”Bi^*\colon\mathcal{P}S \to \mathcal{P}B by surjection (protože jsem *∃ i=1 ð”Bi^\ast \exists_i = 1_{\mathcal{P}B}), jako by obraz funkce f ∃:ð”Bâð”ð”S\exists_f\colon \mathcal{P}B \to \mathcal{P}\mathcal{P}S (protože ∃ ff *=1 ð”ð”S\exists_f f^\ast = 1_{\mathcal{P}\mathcal{P}S}). Tedy jejich composite by být surjection ð”Sâð”ð”S\mathcal{P}S \to \mathcal{P}\mathcal{P}S, což je nemožné Věta .
Výklad
Všimněte si, že existuje injekce od SS ð”S\mathcal{P}S, dána singleton mapě. Takže v aritmetice kardinálních čísel máme
ale protože neexistuje žádná taková surjekce, rozhodně neexistuje žádná bijekce a máme
takže jsme dospěli k závěru, že
to znamená, že každá sada je v kardinálnosti přísně menší než její výkonová sada.
Tento výklad se opírá o dobré vztahy mezi â¤\leq a == na třídě kardinální čísla; zejména CantorâSchroederâBernsteinova věta, že â¤\leq je antisymetrická. V konstruktivní matematice tento vztah chybí a je docela možné, aby dvě sady byly ve výše uvedeném smyslu přísně menší než navzájem. Díky Věta , to není možné, soubor a jeho moci nastavit, ale to neznamená, že výklad <\lt jako relativní velikosti je problematické âopravdu téměř jako problematické, protože představa, že tam jsou i méně čísel než celá čísla!
Paul Taylor tvrdí, že základní hodnoty Cantorova Věta je lemma, implicitní v cantorův důkaz, že Bill Lawvere izolován jako Věta . Jako hlavní výklad Věta je smysluplná pouze v konkrétní set-teoretický kontext (zejména ten, kde CantorâSchroederâBernstein věta platí), to nemusí přežít ârevolutionâ, která boří prvenství z kontextu. Ale Lawvere lemma přežije, protože âdělá workâ, zatímco Cantorova věta âbere creditâ. (Viz Taylor 2009 níže pro další diskusi o âLemmata, že dělat práci, a Věty, které se creditâ.)
v položkách
věta analogická Kantorově větě pro množiny může být formulována pro jiné kartézské uzavřené Kategorie. Zejména, jeden může se zeptat, zda je možné mít surjection Xâ2 XX \2^X mezi posets, kde základní 22 není diskrétní poset {0,1}\{0, 1\} ale spíše, aby {0â¤1}\{0 \leq 1\}.
odpověď je, že neexistuje žádná taková surjekce f: Xâ ‘ 2 Xf: X \ – 2^X, ale to neznamená, jednoduchá aplikace Lawvereâs, pevný bod věty, kde se člověk snaží vyloučit takové ff vyvoláním existence mapě 2â22 \2, které nemá žádný pevný bod (není tam žádná taková poset mapě 2â22 \2!). Ani nemůžeme apelovat na některé surové mohutnost argument; například, pokud XX je pořadové Ï\omega, pak 2 X2^X je pořadí ⊥âŠÏ op\bot \sqcup \omega^{op} (volně přiléhají na spodní prvek ⊥\bot Ï op\omega^{op}), která má stejnou mohutnost. Je tedy třeba hledat nějaký jiný důkaz.
dokázat, že neexistuje surjekce Xâ2 XX \to 2^X je zábavné cvičení. Jeden řádek útoku (který se internalizuje na jakékoli topos) lze nalézt zde.
- Lawvereova věta s pevným bodem
