význam komplexní exponenciály pro elektrotechniku
nyní bych chtěl konečně demonstrovat význam komplexní exponenciály pouze z hlediska elektrotechniky. Snažil jsem se psát čitelně a jednoduše, ale to vám nemusí stačit.
Převod majetku mezi sčítání a násobení
Jednou z důležitých vlastností exponenciální je převést mezi sčítání a násobení. V tomto příspěvku se zaměříme na tuto vlastnost.
Budeme mluvit o převod majetku exponenciální obou v reálné číslo řádku a v komplexní rovině.
(1) řádek reálných čísel
reálné číslo je počitatelné číslo v reálném světě. Reálná čísla leží na ose 1 dimenze zvané osa x. Mají pouze velikost. Jinými slovy, můžeme mapovat všechna reálná čísla na číselnou řadu.
jak vysvětlit sčítání a násobení přes číselný řádek? Vložte “x” do číselného řádku a představte si, co dělat, abyste přidali ” x ” do “1”. Nechte bod x sám a jen posuňte osu. Můžeme posunout osu na levou stranu o jeden bod a pak se poloha x stane “x+1”. Protože považujeme kromě ne jako operátor potřebuje dva vstupní, ale jako systém, který může být definován jako ‘+1’, systematické a geometrické interpretaci je možné v číselné ose. Proto přidání podél číselné čáry znamená posunutí osy. Pokud chcete přidat, posuňte osu na levou stranu stejně jako velikost počtu násobení a pokud chcete odečíst, posuňte osu na pravou stranu.
podobně jak vysvětlit násobení přes číselný řádek? Představte si násobení ” x ” a “a”. Můžeme přesunout bod ” x “do bodu “ax”, zatímco ponecháme ” x “osu natažením osy” a ” krát. “x 2” se rozumí zmenšení osy 2krát a “x 0,5” se rozumí rozšíření osy 2krát. Podívejte se prosím na následující video pro pochopení toho, co mám na mysli. Vysvětluje mechanismus sčítání a násobení pomocí osy dobře.
(2) vlastnost konverze v reálném číselném řádku.
následoval vlastnost exponenciální můžeme použít exponenciální funkci pro převod mezi sčítání a násobení. Následující obrázek ukazuje mechanismus převodu. Můžete vidět, že rovnice o sčítání je transformována na rovnici o násobení v exponenciální podobě. Proto sčítání se rovná násobení nad exponenciální x. Všimněte si, že byste měli použít exponenciální formulář jako systém nebo funkci.
co to znamená? Pamatujte, že sčítání je vystaveno posuvu nebo posunutí osy(reálná číselná čára) a násobení je vystaveno protažení osy. V součtu je posunutí osy rovno protažení osy přes exponenciální tvar. Samozřejmě, jakákoli jiná exponenciální funkce, která má druhou základnu, je v pořádku. Oba se liší pouze v tom, kolik je osa napnutá.
(3) komplexní rovina
na rozdíl od reálné číselné linie se komplex skládá ze 2 os. Jedna je reálná číselná čára a druhá imaginární číselná čára. Protože leží na 2 dimenzionální rovině, komplexní čísla mají velikost a fázi. Jen přemýšlejte o polární souřadnici.
jaký je rozdíl mezi reálnou číselnou linií a komplexní rovinou? Existují pouze dva způsoby, jak pracovat v reálné číslo linky, posuvné a protažení. Ale můžeme otáčet provoz ve složité rovině. Rotace znamená modifikovat fázi komplexního čísla při zachování jeho velikosti. Představte si mechanismus rotace. Takže musíme natahovat letadla a rotující letadlo vynásobit komplexní číslo, komplexní číslo, protože násobení by se změnit i velikost a fáze. Jinými slovy, násobení v komplexní rovině je zobrazena kombinace protahování a rotace.
například, imaginární číslo, to znamená 90 stupňů rotace v komplexní rovině. A druhá mocnina i znamená otočení o 180 stupňů. Ve skutečnosti, imaginární číslo neodhalí v reálném světě. Důvodem je, že žijeme pouze v reálné ose (1 d číselný systém).
Euler ‘ s identity
na Základě předchozí znalosti, pojďme se zaměřit na exponenciální funkce v komplexní rovině. Exponenciál má stejnou funkci v obou 1 D a 2 D. Jak víte, znamená to Převod mezi sčítáním a násobením. Je tedy zcela jasné, že komplexní exponenciální změna mechanismu posuvu roviny na mechanismus roztahování a otáčení roviny.
bod je vzdálenost mezi dvěma body je stejná.
Proto Eulerova identita znamená, že kromě i*pi je roven násobení exponenciální formě. Navíc násobení exp (i * pi)je rotace o 180 stupňů v jednotkové kružnici. Následující rovnice je Eulerova identita.
Eulerova rovnice
Eulerova rovnice je jen rozšíření Euler ‘ s identity pro anonymní proměnná.
Tím, že se zabývá komplexní číslo, můžeme použít amplitudy a fáze čísel. A exp (i*pi) znamená otáčení o 180 stupňů podél jednotkové kružnice. Pak jsme dospěli k závěru, že exp (i*x) znamená rotaci podél jednotkové kružnice odečtením.
Komplexní exponenciální (exp(i*x))je rotující funkce fáze x. Viz sledoval obraz. Rotace během časového intervalu promítá kosinus a sinusový stín v rovině reálného času a imaginární časové rovině. Rozvíjí kosinusovou funkci v reálné ose.(Rozvíjí také sinusovou funkci v imaginární ose.) V reálném světě je kosinus jen periodická funkce, nicméně komplexní exponenciál v komplexní rovině znamená rotaci.
nakonec je problém jednoduchý při úpravě kosinusové funkce na komplexní exponenciální nebo při jejím uvedení do komplexní roviny. “Změňte problém a vyřešte problém kruhu.”
