Vztah kongruence

definice kongruence závisí na typu uvažované algebraické struktury. Konkrétní definice kongruence mohou být vyrobeny pro skupiny, kroužky, vektorové prostory, moduly, pologrupy, mříže, a tak dále. Společným tématem je, že kongruence je ekvivalence vztahu na algebraický objekt, který je kompatibilní s algebraické struktury, v tom smyslu, že činnosti jsou dobře definovány na ekvivalence tříd.

například skupina je algebraický objekt sestávající z množiny společně s jednou binární operací, která splňuje určité axiomy. Pokud G {\displaystyle G}

je skupina s operací ∗ {\displaystyle \ast }

, vztahu kongruence na G {\displaystyle G}

je o rovnocennosti vztahu ≡ {\displaystyle \equiv }

na prvky z G {\displaystyle G}

uspokojující g 1 ≡ g 2 {\displaystyle g_{1}\equiv g_{2}\ \ \,}

a h 1 ≡ h 2 ⟹ g 1 ∗ h 1 ≡ g 2 ∗ h 2 {\displaystyle \ \ \,h_{1}\equiv h_{2}\znamená, g_{1}\ast h_{1}\equiv g_{2}\ast h_{2}}

pro všechny g 1 {\displaystyle g_{1}}

, g 2 {\displaystyle g_{2}}

, h 1 {\displaystyle h — {1}}

, h 2 ∈ G {\displaystyle h_{2}\in G}

. Pro shodu na skupině je třída ekvivalence obsahující prvek identity vždy normální podskupinou a další třídy ekvivalence jsou kosety této podskupiny. Společně jsou tyto třídy ekvivalence prvky kvocientní skupiny.

pokud algebraická struktura obsahuje více než jednu operaci, musí být vztahy kongruence kompatibilní s každou operací. Například, prsten má i sčítání a násobení, a kongruence vztahu na prsten musí splňovat

r 1 + s 1 ≡ r 2 + y 2 a r 1 s 1 ≡ r 2 s 2 {\displaystyle r_{1}+s_{1}\equiv r_{2}+s_{2}{\text{ a }}r_{1}s_{1}\equiv r_{2}s_{2}}

vždy, když r 1 ≡ r 2 a s 1 ≡ s 2 {\displaystyle r_{1}\equiv r_{2}{\text{ a }}s_{1}\equiv s_{2}}

. Pro kongruence na kroužek, třídy ekvivalence obsahující 0 je vždy oboustranný ideální, a dvě operace na množině ekvivalence tříd definovat odpovídající podíl prsten.

obecný pojem relace kongruence může být formálně definován v kontextu univerzální algebry, pole, které studuje myšlenky společné všem algebraickým strukturám. V tomto nastavení, kongruence vztahu je rovnocennost vztahu ≡ {\displaystyle \equiv }

na algebraické struktury, která splňuje μ ( a 1 , a 2 , … , n ) ≡ μ ( 1 ‘, 2 ‘, … , n ‘ ) {\displaystyle \mu \left(a_{1}{\text{, }}a_{2}{\text{, }}\ldots {}{\text{, }}a_{n}\right)\equiv \mu \left(a_{1}'{\text{, }}a_{2}'{\text{, }}\ldots {}{\text{, }}a_{n}’\right)}