Afslutning af terningen!!! (Side 1) / formler / Math is Fun Forum
Hej anonimnystefy;
jeg har kopieret den tekstfil, du har anmodet om. Inkonsekvent bracketing og en savnet beslag gør denne mistænkte. Jeg har forsøgt at rydde op, men jeg kunne kun gætte, hvor den manglende beslag skulle gå.
en anden metode til løsning af en kubisk polynomligning indsendt uafhængigt af Paul A. Torres og Robert A. Varren. Det er baseret på ideen om at “færdiggøre terningen” ved at arrangere sager, så tre af de fire udtryk er tre af de fire udtryk for en perfekt terning.
Start med den kubiske ligning
hvis
så er de første tre udtryk de første tre udtryk for en perfekt terning, nemlig
så kan du “fuldføre terningen” ved at trække c fra begge sider og tilføje kubens manglende udtryk
til begge sider. Husk at
du får:
ved at tage kubens rod på venstre side og de tre kuberødder på højre side, får du:
disse er rødderne af den kubiske ligning, der blev søgt.
hvis
fortsæt derefter som følger. S = y + s, hvor y er en ubestemt og S er en funktion af a, b og c, som vil blive fundet nedenfor. Derefter:
hvor
de første tre udtryk i denne ligning i y vil være dem af en perfekt terning iff
hvilket sker iff
hvilket ikke kan ske i dette tilfælde, så vi tilsyneladende ikke har fået noget. Imidlertid vil de sidste tre udtryk i denne ligning i y være dem af en perfekt terning iff
det er iff
hvor
siden
derefter
og vi har en ægte kvadratisk ligning, kaldet resolvent kvadratisk. Nu vælger vi å for at være en rod af denne kvadratiske ligning.
hvis
så er enhver rod af GCD også en rod af den oprindelige kubiske ligning i h. Når du har mindst en rod, reduceres problemet med at finde de andre rødder til at løse en kvadratisk eller lineær ligning.
hvis
så kan ingen af værdien af å gøre f = 0, så vi kan antage, at f er ikke nul. Enten rod r af kvadratisk vil gøre, men vi skal vælge en af dem. Vi vælger vilkårligt den med et plustegn foran radikalen:
sæt å lig med denne værdi i ligningen for y, og divider den med f på begge sider. Så er de sidste tre udtryk for kubikken i y dem af en perfekt terning, nemlig:
så vi kan fuldføre terningen for at løse den. Vi gør dette ved at trække
fra begge sider og derefter tilføje den manglende term af kuben
til begge sider og opnå
nu har du værdierne af y. Tilføj Å til hver for at få værdierne af H:
disse er rødderne af den kubiske ligning, der blev søgt.
eksempel:
vi har a = 6, b = 9, c = 6.
derefter
den resolvente kvadratiske er
den kubiske i y er
så er en rod
efter en masse forenkling får du
og to andre rødder, som han ikke giver. Jeg tjekkede den, han har givet, og det er korrekt.
