Kongruensrelation

definitionen af en kongruens afhænger af typen af algebraisk struktur under overvejelse. Særlige definitioner af kongruens kan laves for grupper, ringe, vektorrum, moduler, semigrupper, gitter og så videre. Det fælles tema er, at en kongruens er en ækvivalensrelation på et algebraisk objekt, der er kompatibelt med den algebraiske struktur i den forstand, at operationerne er veldefinerede på ækvivalensklasserne.

for eksempel er en gruppe et algebraisk objekt bestående af et sæt sammen med en enkelt binær operation, der opfylder visse aksiomer. Hvis G {\displaystyle G}

er en gruppe med operation L. {\displaystyle \ast }

, en kongruensrelation på G {\displaystyle G}

er en ækvivalensrelation L. {\displaystyle \ækvivalent }

på elementerne i g {\displaystyle G}

tilfredsstillende g 1 ret g 2 {\displaystyle g_{1}\ækvivalent G_{2}\ \ \,}

og h 1 H 2 H 1 H 1 H 1 H 2 H 2 H 2 {\displaystyle\\\, H_{1} \ ækvivalent H_{2} \ indebærer g_{1} \ ast h_{1} \ ækvivalent g_{2}\ast h_{2}}

for alle g 1 {\displaystyle g_{1}}

, g 2 {\displaystyle g_{2}}

, h 1 {\displaystyle h_{1}}

, h 2 ret G {\displaystyle h_{2} \ i G}

. For en kongruens på en gruppe er ækvivalensklassen, der indeholder identitetselementet, altid en normal undergruppe, og de andre ækvivalensklasser er cosets for denne undergruppe. Sammen er disse ækvivalensklasser elementerne i en kvotientgruppe.

når en algebraisk struktur omfatter mere end en operation, skal kongruensrelationer være kompatible med hver operation. For eksempel har en ring både addition og multiplikation, og en kongruensrelation på en ring skal tilfredsstille

r 1 + s 1 list r 2 + s 2 og r 1 s 1 list r 2 s 2 {\displaystyle r_{1} + s_{1} \ ækvivalent r_{2} + s_{2}{\tekst{ og }}r_{1}s_{1}\ækvivalent r_{2}s_ {2} {\tekst {og}} r_ {1} s_ {1} \ ækvivalent r_ {2} s_{2}}

når som helst r 1 ret r 2 og s 1 ret s 2 {\displaystyle r_{1} \ ækvivalent r_{2} {\tekst{ og }}s_{1} \ ækvivalent s_{2}}

. For en kongruens på en ring er ækvivalensklassen indeholdende 0 altid et tosidet ideal, og de to operationer på sættet af ækvivalensklasser definerer den tilsvarende kvotientring.

den generelle opfattelse af en kongruensrelation kan gives en formel definition i sammenhæng med universel algebra, et felt, der studerer ideer, der er fælles for alle algebraiske strukturer. I denne indstilling er en kongruensrelation en ækvivalensrelation }

på en algebraisk struktur , der tilfredsstiller prisT ( a 1, a 2,…, A n) prist ( a 1′, a 2′,…, a n ‘ ) {\displaystyle \mu \left(a_{1}{\tekst {,}} a_{2}{\tekst {,}} \ldots {}{\tekst {,}} a_{n}\højre)\ækvivalent \mu \left(a_{1}'{\tekst {,}} a_{2} {\tekst {,}} \ldots {}{\tekst {,}} a_{n}\højre) \ ækvivalent \ mu \ left (a_ {1}'{\tekst {,}} a_ {2}'{\tekst {,}} \ ldots {} {\tekst {,}} a_ {n} ‘\ højre)}