lukket overfladeintuition [lukket]
hvis du havde et sfærisk stykke papir, ville ethvert punkt på papiret være omgivet af papir i to dimensioner. Du kan skære en lille cirkel ud med det punkt i midten. Hvis du havde et normalt ark papir, ville det meste af papiret være sådan, men der ville være en grænse, hvor punkterne kun har papir på den ene side, og du kunne kun skære en halvcirkel ud. Det er hvad “grænse” betyder, når man beskæftiger sig med overflader.
desværre er den definition, du viser, ufuldstændig. En lukket overflade skal også være kompakt. Min favorit definition ville være virkelig svært at forklare, men hvis du ikke bruger en virkelig underlig måde at måle afstand på, vil en enklere være tilstrækkelig. Det skal være lukket og afgrænset (ingen relation til den “lukkede” og “grænse”, jeg allerede nævnte). “Lukket” betyder her, at ethvert punkt, der ikke er på papiret, er helt omgivet af punkter, der ikke er på papiret, så du kan ikke bare have et normalt ark papir, hvor kun kanten mangler, så det teknisk set ikke har nogen grænse. “Afgrænset” betyder, at det ikke fortsætter for evigt i nogen retning, så et fly ville ikke tælle.
Rediger:
jeg synes, det er nok godt at forklare, hvorfor kompakt er en ting. Hvis du ser på et åbent interval fra nul til en, er det afgrænset. Det fortsætter ikke for evigt. Men du kan tage en kontinuerlig funktion af det (som bevarer alle former for strukturer matematikere kærlighed) og få noget, der foregår for evigt. For eksempel er $f = 1/$ kontinuerlig på dette interval og kortlægger det til det åbne interval $(1,\infty)$. Hvis du bruger et lukket interval, kan du ikke gøre det. Enhver kontinuerlig funktion på $$ vil kortlægge den til et afgrænset sæt. Du kan sige $1/0 = \infty$, og topologer gør det ofte, men tilføjer en uendelighed som den rod rundt med strukturen af den rigtige linje så meget, at du mindre gør $$ uendelig, end du gør den rigtige linje endelig.
kompakt betyder, at du har at gøre med et sæt, hvor det at være endeligt er iboende for strukturen på en måde, der ikke kan ændres af noget så simpelt som en kontinuerlig funktion.
en lukket overflade er en, der ikke fortsætter for evigt, men heller ikke har kanter. Det løber bare rundt på sig selv som en kugle.
