nLab Cantor's sætning

by Posted on

Resume

Georg Cantor beviste mange sætninger, men den, der normalt kaldes Cantors sætning, er den første ikke-trivielle sætning i Cantors nye sætteori: at nogle uendeligheder er større end andre; især genererer ethvert uendeligt kardinaltal (eller uendeligt sæt) et større ved at tage kraftsættet.

(sætningen gælder for alle sæt, ikke kun uendelige, selvom det er ret indlysende for endelige sæt.)

Cantor ‘ s sætning bør ikke forveksles med Cantor-Kristen“Schroeder-Kristen“Bernstein-sætningen (Se kardinaltal), som er anderledes (men relateret, da det er vigtigt at retfærdiggøre Cantors fortolkning af hans sætning).

historie

før Cantor havde folk en tendens til at tænke på uendelighed (uanset om de troede på det eller ej) som et absolut begreb: alle uendeligheder er ækvivalente. Galileo), at det er muligt at give et uendeligt sæt en selvinjektion, der ikke er en surjection; for eksempel inkluderingen af de lige heltal i heltalene ved at fordoble. Her er således to uendeligheder, “uendeligheden ee af lige heltal og uendeligheden NN af alle heltal,” der faktisk er ækvivalente, selvom det ved første øjekast ser ud til, at Ee er mindre.

Cantor viste, at en sådan ækvivalens mislykkes med de reelle tal RR: intet kort fra NN til RR kan være surjektivt (så RR er utallige). Hans første argument var ad hoc, men han generaliserede derefter dette med det diagonale argument for at vise, at intet kort fra ethvert sæt SS til dets magtsæt”s\mathcal{P}S kunne være surjektivt. (Dette dækkede RR’s uncountability, da Cantor fandt en bijektion mellem RR og Kristian ‘ “n\mathcal{p}n, som vi nu kan betragte som en forekomst af Cantor-Kristian“Schr-Kristian der-Kristian“Bernstein-sætningen.) Da der er et åbenlyst injektivt kort (singleton-kortet) fra SS til”S\mathcal{P}S”, konkluderede Cantor, at kardinaliteten af den ene er strengt mindre end kardinaliteten af den anden.

Cantors argument var ligesom hele hans sætteori kontroversiel på det tidspunkt. De, der ligesom Kronecker troede på, at al matematik skulle være endelig matematik, betragtede det meningsløst. Endnu mere moderate tidlige konstruktivister, som f.eks. “N\mathcal{p}n er ikke konstruktivt gyldig, selvom Cantors originale bevis for, at RR er utallige, kan gøres til arbejde.)

imidlertid er versionerne af sætningen angivet nedenfor konstruktivt gyldige, og sætningen er endda predikativt gyldig (så længe man har funktionssæt); moderne konstruktivister accepterer generelt disse som sætninger. (Fortolkningen er dog ikke så klar .) De er i virkeligheden teoremer i det interne sprog i enhver topos (og sætning er en sætning i enhver prisT \Pi-pretopos).

erklæringer og beviser

sætning

(Lovvers version.)

givne sæt SS og VV, Antag, at der er en surjection fra SS til funktionssættet S ris’vs \til v (også skrevet v SV^s). Så har hvert kort n: V ‘ V ‘ vn\colon V \ til V et fast punkt; det vil sige n(s)=sn(s) = s for nogle x:Vx\colon V.

(dette generaliserer til Lovveres faste punkt sætning.)

bevis

lad f:S Larv’(s Larv’V)F\Colon s \til (S \til v) være en hvilken som helst funktion, og overvej funktionen g:s Larv’Vg\Colon s \til V givet af

g(a)=n(f(a)(a)). g (a) = n(f(a) (a)) .

Der er, hvis man bruger currying at fortolke ff som en funktion fra S×SS \gange S til VV, så gg er defineret ved hjælp af diagonalen kort × ” S\ \ Delta_S som

S→ה SS×S→fV→nV. S \ stackrel {\Delta_S}\til S \ gange S \ stackrel{f} \ til V \stackrel{n} \ til v .

Antag nu, at ff er surjektiv. Så skal der være noget element a:Sa\colon S sådan at f(a)=gf(a) = g. men så

g(a)=n(f(a)(a))=n(g(a)), g(a) = n(f(a)(a)) = n(g(a)) ,

så g(a)g(A) er et fast punkt på nn.

tilstedeværelsen af diagonalkortet” s\Delta_S forklarer her, hvorfor dette bevis kaldes diagonalargumentet. (Denne forklaring er anakronistisk, men moralsk korrekt.) Lovvereekrus s bevis forklarer også(faktisk generaliserer) yy-kursen eller fastpunktskombinatoren I ikke-typet Lambda-beregning, Hvor y(n)y (n) er et fast punkt for ethvert udtryk NN.

det følger straks (selv konstruktivt), at hvis VV har en selvkortlægning uden et fast punkt, så kan intet kort fra SS til S Kurt’vs \til v være en surjection. Faktisk har vi noget lidt stærkere end (men klassisk ækvivalent med) FF’s manglende evne til at være en surjection: der findes faktisk et element GG af S prisT ‘ vs \til V, der ikke er lig med nogen værdi i området FF. (Hvis VV har en apartness relation, så kan du få et endnu stærkere resultat for en tilsvarende stærkere hypotese på nn, men det gælder ikke for versionerne nedenfor.)

sætning

(Cantors version.)

i betragtning af et sæt SS er der ingen overskridelse fra SS til strømsættet”s\mathcal{P}S.

Proof

lad VV være det sæt af sandhedsværdier, og lad n:v Kurt’vn\colon V \til v være negation. Da nn ikke har noget fast punkt, skal du anvende sætning .

Bemærk, at selv om negation ikke har alle sine sædvanlige egenskaber i konstruktiv matematik, er p=Pristpp = \neg{p} stadig umulig.

den næste version er klassisk ækvivalent med den tidligere version (i det mindste hvis du kontrollerer, at”s\mathcal{P}S er beboet), men ikke konstruktivt ækvivalent. (Faktisk, i modsætning til sætning, har den tilsyneladende ingen konstruktiv Analog, når”s\mathcal{p}s erstattes af V SV^S.) Dette argument er fra proposition 2.8.8 af Taylors praktiske fundamenter (selvom jeg ikke ved, om det virkelig stammer fra der).

sætning

(Taylors version.)

i betragtning af et sæt SS er der ingen injektion fra”S\mathcal{P}S til SS.

bevis

lad Jeg:”S” S ” S ” si\Colon \mathcal{P}S \til S være enhver funktion. Definer f: s List’List ‘” sf \ Colon s \ til \ mathcal {P}S som følger:

f (a) = {b:S/∠kr (U:'”s), i(U) = A ‘B’B’. f (A) = \ {B\colon S \;|\; \forall(U\colon \mathcal{P}S),\; i (U) = a \;\højre pil\; b \i u \} .

hvis ii er en injektion, så er ff en tilbagetrækning af ii og dermed en surjektion, hvilket er umuligt ved sætning .

selvfølgelig viste Cantor også sætning, men hans bevis var ikke konstruktivt.

vi kan kombinere sætninger og ind i følgende endnu mere generelle erklæring, taget fra D4.1.8 af Johnstones elefant.

sætning

(Johnstones version.)

i betragtning af et sæt SS kan dets strømsæt”s\mathcal{P}S ikke udtrykkes som en underkvotient af SS.

Bevis

Antag, at vi har haft et sæt BB, en injektion i:B↪Si\colon B \hookrightarrow S og en surjection f:B→𝒔Sf\colon B \til \mathcal{P}S. Så preimage funktion i *:𝒔S→𝒔Bi^*\colon\mathcal{P}S \til \mathcal{P}B ville være et surjection (fordi jeg *∃ i=1 𝒔Bi^\ast \exists_i = 1_{\mathcal{P}B}), så ville billedet funktion f ∃:𝒔B→𝒔𝒔S\ \ exists_f\colon \mathcal{P}B \til \mathcal{S}\mathcal{P}S (fordi ∃ ff *=1 𝒔𝒔S\ \ exists_f f^\ast = 1_{\mathcal{S}\mathcal{P}S}). Således ville deres sammensætning være en surjektion, som er ” S ” S ” S ” S ” s ” mathcal {P} S \ til \ mathcal {p} \ mathcal {p} s, hvilket er umuligt ved sætning .

tolkning

Bemærk, at der findes en injektion fra SS til”S\mathcal{P}S, givet af Singleton-kortet. Så i aritmetikken af kardinaltal har vi

|S|LR|LRR’”s|. {|S|} {/\mathcal {P}S/}.

Men da der ikke er en sådan surjection, er der bestemt ingen bijektion, og vi har

|s|Kurt |purpur’”s|. {/S/} \ ne {/\mathcal{P}S/}.

så vi konkluderer, at

|S|<|til”S|. {/S/} \ lt {/\mathcal{P}S/}.

det vil sige, hvert sæt er strengt mindre i kardinalitet end dets strømsæt.

denne fortolkning er afhængig af et godt forhold mellem Kristian og == på klassen af kardinaltal; især Cantor Kristian“Schroeder Kristian“Bernstein sætning, at Kristian er antisymmetrisk. I konstruktiv matematik, dette forhold mangler, og det er meget muligt for to sæt til hver være strengt mindre end hinanden i den forstand ovenfor. Takket være sætning er dette ikke muligt for et sæt og dets kraftsæt, men det betyder, at fortolkningen af <\lt som relativ størrelse er problematisk”faktisk næsten lige så problematisk som ideen om, at der er færre lige heltal end heltal!

Paul Taylor har hævdet, at den væsentlige værdi af Cantors sætning er lemma, implicit i Cantors Bevis, at Bill Lovvere isoleret som sætning . Da hovedfortolkningen af sætningen kun er meningsfuld i en bestemt sætteoretisk sammenhæng (især en hvor Kantorkristen“Schroeder Kristian“Bernstein-sætningen holder), kan den muligvis ikke overleve en Kristian revolution-Kristian, der vælter forrangen i denne sammenhæng. Men Lovveres lemma vil overleve, da det gør det arbejde, som det er, mens Cantor ‘ s sætning, som det er, tager kreditten. (Se Taylor 2009 nedenfor for yderligere diskussion af karrus lemmas, der gør det arbejde og teoremer, der tager kreditten karrus.)

i posets

en sætning analog med Cantor lists sætning for sæt kan formuleres til andre kartesiske lukkede kategorier. Især kan man spørge, om det er muligt at have en surjection 2 til 2^mellem Posets, hvor basen 22 ikke er den diskrete poset {0,1}\{0, 1\} men snarere rækkefølgen {0 list 1}\{0 \lekv 1\}.

svaret er, at der ikke er nogen sådan surjection f:H-2: 2^, men dette følger ikke af en simpel anvendelse af Lovvereusens fastpunkts sætning, hvor man forsøger at udelukke en sådan ff Ved at påberåbe sig eksistensen af et kort 2, der ikke har noget fast punkt (der er ikke et sådant poset-kort 2, der er 22 til 2!). Vi kan heller ikke appellere til noget groft kardinalitetsargument; for eksempel, hvis KKS er den ordinære Kroatisk\omega, så er 2 K2^KS ordren”kroatisk op\bot \omega^{op} (frit støder op til et bundelement kroatisk \bot til kroatisk op\omega^{op}), som har den samme kardinalitet. Så der skal søges noget andet bevis.

det er en morsom øvelse at bevise, at der ikke er nogen surjection 2 til 2^. En linje af angreb (som internaliserer til enhver topos) kan findes her.

  • Lovveres faste punkt sætning

Published by admin

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.