Intuition de surface fermée [fermée]

Si vous aviez un morceau de papier sphérique, tout point du papier serait entouré de papier en deux dimensions. Vous pouvez découper un petit cercle avec ce point au centre. Si vous aviez une feuille de papier normale, la plupart du papier serait comme ça, mais il y aurait une limite où les points n’ont que du papier d’un côté et vous ne pourriez découper qu’un demi-cercle. C’est ce que signifie “limite” lorsqu’il s’agit de surfaces.

Malheureusement, la définition que vous affichez est incomplète. Une surface fermée doit également être compacte. Ma définition préférée serait vraiment difficile à expliquer, mais si vous n’utilisez pas une façon vraiment étrange de mesurer la distance, une définition plus simple suffira. Il doit être fermé et borné (aucun rapport avec le “fermé” et la “limite” que j’ai déjà mentionnés). “Fermé” signifie ici que tout point qui n’est pas sur le papier est complètement entouré de points qui ne sont pas sur le papier, vous ne pouvez donc pas simplement avoir une feuille de papier normale où seul le bord manque, donc il n’a techniquement aucune limite. “Borné” signifie que cela ne dure pas éternellement dans aucune direction, donc un avion ne compterait pas.

Edit:

Je pense qu’il est probablement bon d’expliquer pourquoi compact est une chose. Si vous regardez un intervalle ouvert de zéro à un, il est borné. Ça ne dure pas éternellement. Mais vous pouvez en prendre une fonction continue (qui préserve toutes les sortes de structures que les mathématiciens aiment) et obtenir quelque chose qui dure pour toujours. Par exemple,ff(x) = 1/x is est continu sur cet intervalle et le mappe à l’intervalle ouvert $(1, \infty)$. Si vous utilisez un intervalle fermé, vous ne pouvez pas le faire. Toute fonction continue de $$ la mappe à un ensemble borné. Vous pourriez dire $1/0 = \infty$, et les topologues le font souvent, mais l’ajout d’une infinité comme celle-ci perturbe tellement la structure de la ligne réelle que vous faites moins infiniteinfini que vous ne faites la ligne réelle finie.

Compact signifie que vous avez affaire à un ensemble dans lequel être fini est inhérent à la structure d’une manière qui ne peut pas être modifiée par quelque chose d’aussi simple qu’une fonction continue.

Une surface fermée est une surface qui ne dure pas éternellement mais qui n’a pas non plus de bords. Il tourne en boucle sur lui-même comme une sphère.