En continuant depuis la dernière fois, considérez le nombre (normal, décimal)
avec un nombre infini de 3 après la virgule décimale. Maintenant, vous savez probablement que cela représente 
. Mais pourquoi? Comment définissons-nous ce que signifie une telle séquence infinie de chiffres?
La réponse standard est que nous considérons le nombre décimal infini 
comme un raccourci pour la limite de la séquence
C’est-à-dire que la séquence des nombres rationnels 
, 
, etc., se rapproche infiniment d’un certain nombre, à savoir , qui est prise comme signification de la séquence. (J’agite un peu les mains ici; cela est généralement rendu plus précis grâce à la notion de séquence de Cauchy. Mais l’intuition est la même.)
Maintenant, dans le paragraphe précédent, j’ai dit que les nombres , , se rapprochent infiniment d’un certain nombre. Qu’entendons-nous par “près de”? Vous pensez peut-être que c’est une question stupide et évidente. Mais il s’avère que des choses intéressantes se produisent si nous donnons une réponse différente de celle d’habitude.
Tout d’abord, réfléchissons à ce que signifie “proche de” dans le contexte des nombres réels habituels. La distance entre deux nombres 
et 
est définie comme étant 
, où 
désigne la valeur absolue habituelle d’un nombre. Nous pouvons penser à la fonction de valeur absolue comme assignant une taille à chaque nombre: 42 et -42 ont tous deux la même taille, à savoir 42. La distance entre deux nombres est donc la taille de leur différence.
Le nom du jeu sera maintenant de définir une fonction de taille différente, que nous écrirons et seront “proches” l’un de l’autre lorsque 
est petit.
