Relation de congruence

La définition d’une congruence dépend du type de structure algébrique considéré. Des définitions particulières de congruence peuvent être faites pour les groupes, les anneaux, les espaces vectoriels, les modules, les demi-groupes, les réseaux, etc. Le thème commun est qu’une congruence est une relation d’équivalence sur un objet algébrique compatible avec la structure algébrique, dans le sens où les opérations sont bien définies sur les classes d’équivalence.

Par exemple, un groupe est un objet algébrique constitué d’un ensemble avec une seule opération binaire, satisfaisant certains axiomes. Si G {\displaystyle G}

est un groupe avec opération ∗ {\displaystyle\ast}

, une relation de congruence sur G {\displaystyle G}

est une relation d’équivalence {{\displaystyle\equiv}

sur les éléments de G {\displaystyle G}

satisfaisant g 1 ≡g 2 {\displaystyle g_{1}\equiv g_{2}\ \ \,}

et h 1 ≡ h 2 g g 1 ∗ h 1 g g 2 ∗ h 2 {\displaystyle\\\, h_{1}\équiv h_{2}\ implique g_{1}\ast h_{1}\équiv g_ {2}\ast h_{2}}

pour tous les g 1 {\displaystyle g_{1}}

, g 2 {\displaystyle g_{2}}

, h 1 {\displaystyle h_{1}}

, h 2 ∈ G {\displaystyle h_{2}\in G}

. Pour une congruence sur un groupe, la classe d’équivalence contenant l’élément d’identité est toujours un sous-groupe normal, et les autres classes d’équivalence sont les cosets de ce sous-groupe. Ensemble, ces classes d’équivalence sont les éléments d’un groupe quotient.

Lorsqu’une structure algébrique comprend plus d’une opération, des relations de congruence sont nécessaires pour être compatibles avec chaque opération. Par exemple, un anneau possède à la fois une addition et une multiplication, et une relation de congruence sur un anneau doit satisfaire

r 1 + s 1 ≡ r 2 + s 2 et r 1 s 1 ≡r 2 s 2 {\displaystyle r_{1} + s_{1} \equiv r_{2} +s_{2} {\text{ and}} r_{1}s_{1}\equiv r_{2}s_{2}}

chaque fois que r 1 ≡ r 2 et s 1 { s 2 {\displaystyle r_ {1}\equiv r_ {2} {\text{ et }} s_ {1}\equiv s_{2}}

. Pour une congruence sur un anneau, la classe d’équivalence contenant 0 est toujours un idéal bilatéral, et les deux opérations sur l’ensemble des classes d’équivalence définissent l’anneau quotient correspondant.

La notion générale de relation de congruence peut recevoir une définition formelle dans le contexte de l’algèbre universelle, un domaine qui étudie les idées communes à toutes les structures algébriques. Dans ce paramètre, une relation de congruence est une relation d’équivalence { {\displaystyle\equiv }

sur une structure algébrique qui satisfait μ(a 1, a 2, …, a n) μ μ(a 1′, a 2′, …, a n’) {\displaystyle\mu\left(a_{1} {\text{,}} a_{2} {\text{,}} \ldots {}{\text{,}} a_{n}\right) \equiv\mu\left(a_{1}’ {\text{,}} \ldots {} {\text{,}} a_ {n}\right) \equiv\mu\left(a_{1}’ {\text{, }}a_{2}'{\text{,}} \ldots {} {\text{,}}a_{n}’ \right)}