Signification de l’Exponentielle complexe pour le génie électrique
Maintenant, enfin, je voudrais démontrer la signification de l’exponentielle complexe uniquement en termes de génie électrique. J’ai fait les efforts pour écrire lisiblement et simplement, mais cela peut ne pas vous suffire.
Propriété de conversion entre addition et multiplication
Une des propriétés importantes de l’exponentielle est de convertir entre addition et multiplication. Dans cet article, nous allons nous concentrer sur cette propriété.
Nous parlerons de la propriété de conversion de l’exponentielle à la fois dans la ligne des nombres réels et dans le plan complexe.
(1) Ligne de nombres réels
Le nombre réel est un nombre dénombrable dans le monde réel. Les nombres réels se trouvent sur l’axe de dimension 1 appelé axe des abscisses. Ils n’ont que l’ampleur. En d’autres termes, nous pouvons mapper tous les nombres réels sur une ligne numérique.
Comment expliquer l’addition et la multiplication sur une ligne de nombres? Mettez ‘x’ sur la ligne numérique et imaginez ce qu’il faut faire pour ajouter ‘x’ à ‘1’. Laissez le point de x seul et faites simplement glisser l’axe. Nous pouvons déplacer l’axe vers le côté gauche d’un point, puis la position de x devient ‘x + 1’. Puisque nous considérons l’addition non pas comme l’opérateur a besoin de deux entrées mais comme le système qui peut être défini comme ‘+1’, une interprétation systématique et géométrique est possible en ligne de nombres. Par conséquent, l’addition le long de la ligne numérique signifie un glissement de l’axe. Si vous souhaitez ajouter, faites glisser l’axe vers la gauche autant que la magnitude du nombre de multiplication et si vous souhaitez soustraire, faites glisser l’axe vers la droite.
De même comment expliquer la multiplication sur la ligne numérique? Imaginez la multiplication ‘x’ par ‘a’. Nous pouvons déplacer le point de ‘x’ au point de ‘ax’ tout en laissant ‘x’ seul en étirant l’axe ‘a’ fois. “x 2” signifie la réduction de l’axe 2 fois et “x 0,5” signifie la dilatation de l’axe 2 fois. Veuillez vous référer à la vidéo suivante pour comprendre ce que je veux dire. Il explique le mécanisme d’addition et de multiplication en utilisant bien l’axe.
(2) Propriété de conversion en ligne de nombres réels.
Par la propriété suivante d’exponentielle, nous pouvons utiliser la fonction exponentielle pour convertir entre addition et multiplication. L’image suivante montre le mécanisme de la conversion. Vous pouvez voir que l’équation à propos de l’addition est transformée en l’équation à propos de la multiplication sous forme exponentielle. Par conséquent, l’addition est égale à la multiplication sur l’exponentielle de x. Notez que vous devez utiliser la forme exponentielle comme système ou fonction.
Qu’est-ce que ça veut dire? Rappelez-vous que l’addition est exposée au glissement ou au déplacement de l’axe (ligne de nombres réels) et que la multiplication est exposée à l’étirement de l’axe. En somme, faire glisser l’axe équivaut à étirer l’axe sur une forme exponentielle. Bien sûr, toute autre fonction exponentielle qui a l’autre base est OK. Les deux ne sont différents que dans la mesure où l’axe est étiré.
(3) Plan complexe
Contrairement à la ligne de nombres réels, le complexe se compose de 2 axes. L’un est une ligne numérique réelle et l’autre est une ligne numérique imaginaire. Comme ils se trouvent sur un plan à 2 dimensions, les nombres complexes ont une magnitude et une phase. Pensez simplement aux coordonnées polaires.
Quelle est la différence entre une ligne de nombres réels et un plan complexe? Il n’y a que deux façons de fonctionner en ligne de nombres réels, le glissement et l’étirement. Mais nous pouvons faire tourner l’opération dans un plan complexe. Les moyens de rotation modifient la phase du nombre complexe en gardant l’amplitude de celui-ci. Imaginez le mécanisme de rotation. Nous devons donc étirer le plan et faire pivoter le plan pour multiplier le nombre complexe en nombre complexe car la multiplication changerait à la fois la magnitude et la phase. En d’autres termes, la multiplication dans le plan complexe affiche la combinaison d’étirement et de rotation.
Par exemple, le nombre imaginaire i signifie une rotation de 90 degrés dans un plan complexe. Et le carré de i signifie une rotation de 180 degrés. En fait, le nombre imaginaire ne se révèle pas dans le monde réel. La raison en est que nous ne vivons que dans un axe réel (système de nombres 1D).
Identité d’Euler
Sur la base des connaissances précédentes, concentrons-nous sur la fonction exponentielle dans le plan complexe. Exponentielle a la même fonctionnalité dans les deux 1 D et 2 D. Comme vous le savez, cela signifie la conversion entre l’addition et la multiplication. Il est donc très clair que le changement exponentiel complexe du mécanisme de glissement du plan au mécanisme d’étirement et de rotation du plan.
Le point est la distance entre deux points est la même.
Par conséquent, l’identité d’Euler signifie que l’addition à i * pi est égale à la multiplication par sa forme exponentielle. De plus, la multiplication par exp (i * pi) est la rotation de 180 degrés en cercle unitaire. L’équation suivante est l’identité d’Euler.
L’équation d’Euler
L’équation d’Euler n’est que l’expansion de l’identité d’Euler pour une variable anonyme.
En traitant du nombre complexe, nous pouvons utiliser la magnitude et la phase des nombres. Et exp (i * pi) signifie la rotation de 180 degrés le long du cercle unitaire. Ensuite, nous concluons que exp(i * x) signifie la rotation le long du cercle unitaire par déduction.
L’exponentielle complexe (exp(i*x)) est la fonction tournante de la phase x. Voir l’image suivante. La rotation pendant l’intervalle de temps projette l’ombre cosinus et sinus dans le plan temps réel et le plan temps imaginaire. Il développe la fonction cosinus dans l’axe réel.(Il développe également la fonction sinus dans l’axe imaginaire.) Dans le monde réel, le cosinus n’est qu’une fonction périodique, mais une exponentielle complexe dans un plan complexe implique la rotation.
Enfin, le problème est simple lors de la modification de la fonction cosinus en exponentielle complexe ou de sa mise dans un plan complexe. “Changez le problème et résolvez simplement le problème du cercle.”
