Terminer le cube!!! (Page 1) / Formulas / Math Est un forum amusant
Salut anonimnystefy;
J’ai copié le fichier texte que vous avez demandé. Un bracketing incohérent et une parenthèse manquée rendent ce suspect. J’ai essayé de le nettoyer mais je ne pouvais que deviner où le support manquant devrait aller.
Une autre méthode de résolution d’une équation polynomiale cubique présentée indépendamment par Paul A. Torres et Robert A. Warren. Il est basé sur l’idée de “compléter le cube”, en arrangeant les choses de sorte que trois des quatre termes soient trois des quatre termes d’un cube parfait.
Commencez par l’équation cubique
Si
alors les trois premiers termes sont les trois premiers termes d’un cube parfait, à savoir
Alors vous pouvez “compléter le cube” en soustrayant c des deux côtés et en ajoutant le terme manquant du cube
aux deux côtés. En rappelant que
vous obtenez:
En prenant la racine cubique du côté gauche et les trois racines cubiques du côté droit, vous obtenez:
Ce sont les racines de l’équation cubique qui ont été recherchées.
Si
procédez comme suit. Ensemble x = y + z, où y est une indéterminée et z est une fonction de a, b et c, que l’on trouvera ci-dessous. Ensuite:
où
Les trois premiers termes de cette équation en y seront ceux d’un cube parfait iff
ce qui arrive iff
ce qui ne peut pas arriver dans ce cas, donc nous n’avons apparemment rien gagné. Cependant, les trois derniers termes de cette équation en y seront ceux d’un cube parfait iff
c’est-à-dire iff
où
Depuis
puis
et nous avons une véritable équation quadratique, appelée quadratique résolvante. Maintenant, nous choisissons z pour être une racine de cette équation quadratique.
Si
alors toute racine du GCD est également une racine de l’équation cubique d’origine en x. Une fois que vous avez au moins une racine, le problème de trouver les autres racines est réduit à résoudre une équation quadratique ou linéaire.
Si
alors aucune valeur de z ne peut faire f = 0, nous pouvons donc supposer désormais que f est non nul. Soit la racine z du quadratique fera l’affaire, mais nous devons en choisir une. Nous choisissons arbitrairement celui avec un signe plus devant le radical:
Définissez z égal à cette valeur dans l’équation pour y, et divisez-le par f des deux côtés. Ensuite, les trois derniers termes du cube en y sont ceux d’un cube parfait, à savoir:
afin que nous puissions compléter le cube pour le résoudre. Nous le faisons en soustrayant
des deux côtés, puis en ajoutant le terme manquant de la cubique,
aux deux côtés, en obtenant
Maintenant vous avez les valeurs de y. Ajoutez z à chacun pour obtenir les valeurs de x:
Ce sont les racines de l’équation cubique qui ont été recherchées.
Exemple:
Nous avons a = 6, b = 9, c = 6.
Puis
Le résolveur quadratique est
le cubique en y est
Puis une racine est
Après beaucoup de simplification, vous obtenez
Et deux autres racines qu’il ne fournit pas. J’ai vérifié celui qu’il a donné et il est correct.
