Variables complexes

Les manuels, même excellents, sont le reflet de leur époque. La forme et le contenu des livres dépendent de ce que les élèves savent déjà, de ce qu’ils sont censés apprendre, de la façon dont le sujet est considéré par rapport aux autres divisions de mathématiques, et même de la mode du sujet. Il n’est donc pas surprenant que nous n’utilisions plus de chefs-d’œuvre tels que la Funktionentheorie de Hurwitz et Courant ou le Cours d’Analyse de Jordan dans nos cours. Les deux dernières décennies ont vu un changement significatif dans les techniques utilisées dans la théorie des fonctions d’une variable complexe. Le rôle important joué par l’équation de Cauchy-Riemann inhomogène dans les recherches actuelles a conduit à la réunification, du moins dans leur esprit, de l’analyse complexe en une et en plusieurs variables. Nous disons réunification car nous pensons que Weierstrass, Poincaré et d’autres (contrairement à beaucoup de nos étudiants) ne les considéraient pas comme des matières entièrement distinctes. En effet, non seulement l’analyse complexe de plusieurs variables, mais aussi la théorie des nombres, l’analyse harmonique et d’autres branches des mathématiques, pures et appliquées, ont nécessité une reconsidération de la continuation analytique, des équations différentielles ordinaires dans le domaine complexe, de l’analyse asymptotique, de l’itération de fonctions holomorphes et de nombreux autres sujets de la théorie classique des fonctions d’une variable complexe. Ce réexamen en cours nous a amenés à penser qu’un manuel intégrant certaines de ces nouvelles perspectives et techniques devait être écrit.