Variables conjuguées

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Il existe de nombreux types de variables conjuguées, selon le type de travail effectué par un certain système (ou auquel il est soumis). Voici des exemples de variables conjuguées canoniquement ::

  • Temps et fréquence: plus une note de musique est soutenue longtemps, plus nous connaissons précisément sa fréquence, mais elle s’étend sur une durée plus longue et constitue donc un événement ou un “instant” plus réparti dans le temps. Inversement, une note de musique très courte ne devient qu’un clic, et est donc plus localisée temporellement, mais on ne peut pas déterminer sa fréquence avec beaucoup de précision.
  • Doppler et portée: plus nous en savons sur la distance d’une cible radar, moins nous pouvons en savoir sur la vitesse exacte d’approche ou de retrait, et vice versa. Dans ce cas, la fonction bidimensionnelle de doppler et de portée est connue sous le nom de fonction d’ambiguïté radar ou diagramme d’ambiguïté radar.
  • Énergie de surface : γ dA (γ = tension superficielle; A = surface).
  • Étirement élastique: F dL (F = force élastique; Longueur L étirée).

Dérivées d’actionEdit

En physique classique, les dérivées d’action sont des variables conjuguées à la quantité par rapport à laquelle on se différencie. En mécanique quantique, ces mêmes paires de variables sont liées par le principe d’incertitude de Heisenberg.

  • L’énergie d’une particule à un certain événement est le négatif de la dérivée de l’action le long d’une trajectoire de cette particule se terminant à cet événement par rapport au moment de l’événement.
  • Le moment linéaire d’une particule est la dérivée de son action par rapport à sa position.
  • Le moment cinétique d’une particule est la dérivée de son action par rapport à son orientation (position angulaire).
  • Le moment de masse (N = t p-E r {\displaystyle\mathbf{N} = t\mathbf{p}-E\mathbf{r} }
    {\ displaystyle\mathbf{N} = t\mathbf{p}-E\mathbf{r}}

    ) d’une particule est le négatif de la dérivée de son action par rapport à sa rapidité.

  • Le potentiel électrique (φ, tension) à un événement est le négatif de la dérivée de l’action du champ électromagnétique par rapport à la densité de la charge électrique (libre) à cet événement.
  • Le potentiel magnétique (A) à un événement est la dérivée de l’action du champ électromagnétique par rapport à la densité du courant électrique (libre) à cet événement.
  • Le champ électrique (E) lors d’un événement est la dérivée de l’action du champ électromagnétique par rapport à la densité de polarisation électrique lors de cet événement.
  • L’induction magnétique (B) lors d’un événement est la dérivée de l’action du champ électromagnétique par rapport à l’aimantation lors de cet événement.
  • Le potentiel gravitationnel newtonien lors d’un événement est le négatif de la dérivée de l’action du champ de gravitation newtonien par rapport à la densité de masse lors de cet événement.

Théorie quantiquedit

En mécanique quantique, les variables conjuguées sont réalisées comme des paires d’observables dont les opérateurs ne commuent pas. Dans la terminologie conventionnelle, ils sont dits observables incompatibles. Considérons, à titre d’exemple, les quantités mesurables données par position(x) {\displaystyle\left(x\right)}

{\ displaystyle\left(x\right)}

et momentum(p) {\displaystyle\left(p\right)}

{\ displaystyle\left(p\right)}

. Dans le formalisme mécanique quantique, les deux observables x {\displaystyle x}

x

et p {\displaystyle p}

p

correspond aux opérateurs x ^{\displaystyle{\widehat{x}}}

{\ displaystyle {\widehat{x}}}

et p ^{\displaystyle{\widehat{p\,}}}

{\ displaystyle {\widehat{p\,}}}

, qui satisfont nécessairement la relation de commutation canonique: = x ^p ^−p^ x ^ = i {{\displaystyle = {\widehat{x}} {\widehat{p\,}} – {\widehat{p\,}} {\widehat{x}} = i\hbar}

{\displaystyle ={\widehat{x}} {\widehat{p\,}} - {\widehat{p\,}} {\widehat{x}} = i\hbar }

Pour chaque commutateur non nul de deux opérateurs, il existe un “principe d’incertitude”, qui dans notre exemple actuel peut être exprimé sous la forme:

Δ x Δ p ≥ ℏ /2 {\displaystyle \ Delta x\, \ Delta p\geq\hbar /2}

{\ affichage \Delta x\, \ Delta p\geq\hbar /2}

Dans cette notation mal définie, Δ x {\displaystyle\Delta x}

\ Delta x

et Δ p {\displaystyle\Delta p}

{\displaystyle\Delta p}

désignent une “incertitude” dans la spécification simultanée de x {\displaystyle x}

x

et p {\displaystyle p}

p

. Une instruction plus précise et statistiquement complète impliquant l’écart type σ{\displaystyle\sigma}

\sigma

se lit comme suit: σ x σ p ≥ ℏ/2 {\displaystyle\sigma_ {x}\sigma_ {p}\geq\hbar /2}

{\ affichage \sigma _ {x}\sigma_{p}\geq\hbar /2}

Plus généralement, pour deux observables quelconques A {\displaystyle A}

A

et B {\displaystyle B}

B

correspondant aux opérateurs A ^{\displaystyle{\widehat{A}}}

{\ widehat {A}}

et B ^{\displaystyle{\widehat{B}}}

{\ displaystyle {\widehat{B}}}

, le principe d’incertitude généralisé est donné par: σ A 2 σ B 2 ≥ (1 2 i ⟨ ⟩) 2 {\displaystyle {\sigma_{A}} ^ {2} {\sigma_{B}} ^{2} \geq\left({\frac{1}{2i}}\left\langle\left\right\rangle\right)^{2}}

{\ displaystyle {\sigma_{A}} ^{2} {\sigma_{B}}^{2}\geq\left({\frac{1}{2i}}\left\langle\left\right\rangle\right)^{2}}

Supposons maintenant que nous devions définir explicitement deux opérateurs particuliers, en attribuant chacun une forme mathématique spécifique, de sorte que la paire satisfasse la relation de commutation susmentionnée. Il est important de se rappeler que notre “choix” particulier d’opérateurs ne ferait que refléter l’une des nombreuses représentations équivalentes, ou isomorphes, de la structure algébrique générale qui caractérise fondamentalement la mécanique quantique. La généralisation est fournie formellement par l’algèbre de lie de Heisenberg h 3 {\displaystyle {\mathfrak{h}}_{3}}

{\ displaystyle {\mathfrak{h}}_{3}}

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