共役変数

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共役変数には、特定のシステムが行っている（または受けている）作業の種類に応じて、多くのタイプがあります。 正準共役変数の例には、次のものがあります:

  • 時間と頻度：長い音符が持続されるほど、より正確にはその頻度がわかりますが、それはより長い持続時間にまたがり、したがってより分散したイベン 逆に、非常に短い音符はクリックするだけになり、より時間的にローカライズされますが、その周波数を非常に正確に決定することはできません。
  • ドップラーと射程：レーダーターゲットがどれくらい離れているかを知るほど、接近または後退の正確な速度について知ることができず、その逆もあります。 この場合、ドップラーと範囲の二次元関数は、レーダあいまい関数またはレーダあいまい図として知られています。
  • 表面エネルギー：ε dA（ε=表面張力、A=表面積）。
  • 伸縮性がある伸張:F dL（F=伸縮性がある力;伸びたLの長さ）。

作用の導関数

古典物理学では、作用の導関数は、どちらが微分しているかに関する量に対する共役変数である。 量子力学では、これらの同じ対の変数はハイゼンベルクの不確実性原理によって関連づけられている。

  • ある事象における粒子のエネルギーは、事象の時間に対するその事象で終わる粒子の軌道に沿った作用の導関数の負の値である。
  • 粒子の線形運動量は、その位置に対するその作用の導関数である。
  • 粒子の角運動量は、その方向（角度位置）に対するその作用の導関数である。
  • 質量モーメント(N=t p−E r{\displaystyle\mathbf{N}=t\mathbf{p}-E\mathbf{r})} }
    {\displaystyle mathbf{N}=t\mathbf{p}-E\mathbf{r}}

    ）は、粒子の速度に関するその作用の導関数の負である。

  • ある事象における電位（φ、電圧）は、その事象における（自由な）電荷の密度に対する電磁場の作用の導関数の負である。
  • ある事象における磁気電位（A）は、その事象における（自由な）電流の密度に対する電磁場の作用の導関数である。
  • ある事象における電界（E）は、その事象における電気分極密度に対する電磁場の作用の導関数である。
  • ある事象における磁気誘導（B）は、その事象における磁化に対する電磁場の作用の導関数である。
  • ある事象におけるニュートン重力ポテンシャルは、その事象における質量密度に対するニュートン重力場の作用の導関数の負である。

量子論編集

量子力学では、共役変数は、演算子が通勤しない観測値のペアとして実現されます。 従来の用語では、それらは互換性のない観測値であると言われています。 例として、position(x){\displaystyle\left(x\right)}によって与えられる可測量を考えてみましょう)}

と運動量(p){\displaystyle\left(p\right)}と運動量(p){\displaystyle\left(p\right)}と運動量(p)}

{\\left(p\right)}

。 量子力学的定式化では、二つの観測値x{\displaystyle x}は、次のように定義される。}

x

とp{\displaystyle p}

p

演算子x^{\displaystyle{\widehat{x}}に対応する}}}

{\{\widehat{x}}}

そしてp^{\displaystyle{\widehat{p}}}そしてp^{\displaystyle{\widehat{p}}}\,}}}

{\-----------\,}}}

, これは必然的に標準的な交換関係を満たす: =x^p^-p^x^=i ℏ{\displaystyle={\widehat{x}}{\widehat{p\,}}-{\widehat{p\,}}{\widehat{x}}=i\hbar}

{\displaystyle={\widehat{x}}{\widehat{p\,}}-{\widehat{p\,}}{\widehat{x}}=i\hbar}

{\displaystyle={\widehat{x}}{\widehat{p\,}}-{\widehat{p\,}}{\widehat{x}}=i\hbar}

{\displaystyle{\widehat{x}}{\widehat{p\,}}{\widehat{x}}=i\hbar}

二つの作用素のすべての非ゼロ整流子に対して、”不確定性原理”が存在し、これは現在の例では次の形で表現することができる:

Δ x Δ p ε/2{\displaystyle\Delta X\,\Delta P\geq\hbar}{\displaystyle\Delta X\,\Delta P\geq\hbar}{\displaystyle\Delta X\}/2}

{\\デルタx\、\デルタp\geq\hbar\デルタx\、\デルタp\geq\hbar\デルタx\。/2}

この不定値表記では、Δ x{\displaystyle\Delta x}となる。}

\デルタx

とΔ p{\displaystyle\Delta P}

{\displaystyle\Delta p}

は、x{\displaystyle x}の同時指定における”不確実性”を表す。}

x

とp{\displaystyle p}

p

. 標準偏差σ{\displaystyle\sigma}

\sigma

を含むより正確で統計的に完全な文は次のようになる。: σ x σ p≥ℏ/2{\displaystyle\sigma_{x}\sigma_{p}\geq\hbar/2}

{\displaystyle\sigma_{x}\sigma_{p}\geq\hbar/2}

より一般的には、二つのゆる観察可能な要因は、{\displaystyle、}

B{\displaystyle B}

B

に対応する事業者A^{\displaystyle{\widehat{A}}}

{\widehat{A}}

B^{\displaystyle{\widehat{B}}}

{\displaystyle{\widehat{B}}}

, 一般的な不確定性原理による: σ a2≤B2≤(1 2i≤)2{\displaystyle{\sigma_{a}}2{2}{\sigma_{b}}2{2}\geq\left({\frac{1}{2i}}\left\langle\left\right\rangle\right)2{2}\geq\left({\frac{1}{2i}}\right)2{2}\geq\left({\frac{1}{2i}}\right)2{2}\geq\left({\frac{1}{2i}}\right)2{2})^{2}}

{\{\sigma_{A}}geq{2}{\sigma_{B}}geq{2}\geq\left（{\frac{1}{2i}}\left\langle\right\rangle\right）geqこれは、sigma sigma_{A}}がA Sigma_{B}geqに収束していることを意味します。)^{2}}

ここで、2つの特定の演算子を明示的に定義し、それぞれに特定の数学的形式を割り当てて、そのペアが前述の交換関係を満たすようにしたとします。 演算子の特定の「選択」は、量子力学を根本的に特徴付ける一般的な代数構造の多くの同等または同形の表現の1つを反映するだけであることを覚え 一般化は形式的にハイゼンベルグ・リー代数h3{\displaystyle{\mathfrak{h}}によって与えられる。}}_{3}}

{\displaystyle math h h h h h h h h h}}_{3}}

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