合同関係

合同の定義は、検討中の代数構造のタイプに依存する。 合同の特定の定義は、群、環、ベクトル空間、加群、半群、格子などに対して行うことができる。 共通のテーマは、合同は、演算が等価クラス上で明確に定義されているという意味で、代数構造と互換性のある代数的対象上の同値関係であるというこ

例えば、群は集合と単一の二項演算からなる代数的対象であり、特定の公理を満たす。 もしG{\displaystyle G}

は演算π{\displaystyle\ast}

を持つ群であり、G{\displaystyle G}

上の合同関係は同値関係π{\displaystyle\equiv}

である。>g{\displaystyle g}

g1≤g2{\displaystyle g_{1}\equiv g_{1}}を満たすgの元について{2}\ \ \,}

そしてh1≤h2≤g1≤h1≤g2≤h2{\displaystyle\\\,h_{1}\equiv h_{2}\implies g_{1}\ast{\displaystyle\\\,h_{1}\equiv h_{2}\implies g_{1}\ast}である。 equiv h_{1}\当量g_{2}\ast h_を\当量g_{2}\ast h_{2}}

すべてのg1{\displaystyle g_{1}}

, g2{\displaystyle g_{2}}

, h1{\displaystyle h_{1}}

, h2≤G{\displaystyle h_{2}\in G}

。 群上の合同に対して、単位元を含む同値類は常に正規部分群であり、他の同値類はこの部分群の剰余類である。 これらの同値類はともに商群の元である。

代数構造に複数の演算が含まれる場合、合同関係は各演算と互換性がある必要があります。 例えば、環は加法と乗法の両方を持ち、環上の合同関係は

r1+s1≤r2+s2およびr1s1≤r2s2{\displaystyle r_{1}+s_{1}\equiv r_{2}+s_{2}{\text{and}}r_{1}s_{1}\equiv r_{2}s_{1}\equiv r_{2}s_{1}\equiv r_{2}s_{1}\equiv r_{2}s_{1}\equiv r_{2}s_{1}\equiv r_{2}s_{1}\equiv r_{2}s_{1}\equiv r_{2}s_{1}\equiv r_{2}s_{1}\equiv r_{{2}}

r1≤r2およびs1≤s2{\displaystyle r_{1}\equiv r_{2}{\text{and}}s_{1}\equiv s_{2}}

. 環上の合同に対して、0を含む同値類は常に両側イデアルであり、同値類の集合上の2つの演算は対応する商環を定義する。

合同関係の一般的な概念は、すべての代数構造に共通するアイデアを研究する分野である普遍代数の文脈で正式な定義を与えることができます。 この設定において、合同関係は同値関係π{\displaystyle\equiv\equiv}である。}

\a1,a2,…,a n)⋯(a1′,A2′,…,a n′){\displaystyle\mu\left(A_{1}{\text{,}}A_{2}{\text{,}}\ldots{}{\text{,}}A_{n}\right)\equiv\mu\left(A_{1}'{\text{,}}A_{2}{\text{,}}A_{2}{\text{,}}A_{2}{\text{,}}A_{2}{\text{,}}A_{2}{\text{,}}A_{2}{\text{,}}A_{2}{\text{,}}A_{2}{\text{,}}A_{2}{\text{,}}A_{2}{\text{,}}A_{2}{\text{,}}A_{2}{\text{,}}A_{2}{\text{2}'{\テキスト{、}}\ldots{}{\テキスト{、}}a_{n}’右\}\右\テキスト{、}}\右\テキスト{、}}\右\テキスト{、}}a_{n}’)}