Consistent Estimator

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11.2.3分散削減

図5および図6のワイヤゲージシリーズのスペクトル推定値を大まかに調べると、周波数間でかなりの変動が明らかになり、かなりの量の研究がなければスペクトル推定値の全体的な構造を識別することは困難である。 すべての直接スペクトル推定量は、S^X(d)(f)の分布特性を考慮することによって説明できるこの固有のチョッピネスに苦しんでいます。 まず、fが0またはf(N)に近すぎず、sw(θ)が穏やかな規則性条件を満たす場合、2S^w(d)(f)/Sw(f)=dx22;すなわち、rv2S^w(d)(f)/Sw(f)は、2自由度を持つカイ二乗rvとほぼ等しい分布である。 先細りを使用しない場合、fは0に「近すぎない」とみなされ、1/（n-p）Δ T<f<f（N）-1/（n-p）Δ Tの場合はf（N）とみなされます; 先細りを使用する場合は、スペクトルウィンドウの中央ローブの幅の増加を反映して、1/(n-p)Δ Tをより大きな項に置き換えなければなりません(たとえば、ハニングデータのテーパーの項は約2/(n-p)Δ Tなので、2/(n-p)Δ T<f<f(N)-2/(n-p)Δ Tの場合、fは”あまりにも近くない”となります)。

自由度vのカイ二乗rv xv2の分散は2uであるため、近似V=Sw2(f)となります。 この結果はWtの数とは無関係であり、次のようになります: 独立した同一分布ガウスrvの標本平均のような統計とは異なり、s^W(d)(f)の分散は、標本サイズN-pが大きくなるにつれて0に減少しません（興味のない場合Sw(f)=0を除く）。 この結果は、図5と図6に示す直接スペクトル推定値のチョップ性を説明しています。 統計的な用語では、S^W（d）（f）はSw（f）の矛盾した推定量です。

ここで、Sw(f)の一貫した推定量を得るための三つのアプローチの概要を説明します。 各アプローチは、適切な仮定の下で、ＳＷ（ｆ）の約対の無相関推定量とみなすことができるｒｖを組み合わせることに基づいている。 簡単に言うと、

1

滑らかなS^W(d)(f)を周波数にわたって行い、ラグウィンドウスペクトル推定器として知られているものを得ます。

2

{Λ}(または{Wt})をいくつかのセグメントに分割し(そのうちのいくつかは重複する可能性があります)、各セグメントの直接スペクトル推定値を計算し、これらの推定値を一緒に平均化し、Welchのオーバーラップされたsegmentaveraging(WOSA)スペクトル推定器を得ます。;

3

直交データテーパーのセットを使用して{Wt}の一連の直接スペクトル推定値を計算し、これらの推定値を一緒に平均してThomsonのマルチテーパースペクトル推定

ラグウィンドウスペクトル推定器Sw(λ)のラグウィンドウスペクトル推定器は、

(11.15)S^W(lw)(f)=λ−f(N)f(N)Wm(f−f’)S^W(d)(f’)dfの形式をとります’

ここで、Wm(θ)は、平滑化パラメータmによって平滑化特性が制御される平滑化ウィンドウです。 つまり、推定器S^W(lw)(λ)は、平滑化窓を直接スペクトル推定器S^w(d)(λ)と畳み込むことによって得られる。 一般的な平滑化ウィンドウの外観は、スペクトルウィンドウとほぼ同じです。 平滑化パラメータmによって調整できる幅を持つ中心ローブがあります：この中心ローブが広いほど、より滑らかなS^W（w）（θ）になります。 また、ウィンドウの漏れを平滑化する原因となる迷惑なサイドローブのセットが存在する可能性があります。 平滑化窓漏れの存在は，Ｓ^Ｗ（ｌ ｗ）（λ）とＳ^Ｗ（ｄ）（λ）のプロットを重ね，前者が後者の平滑化バージョンではないように見える周波数の範囲を探すことによって容易に検出される。

ARプリホワイトニングフィルタを使用した場合、ポストカラー S^W(lw)(λ)を使用してsx(λ)の推定量、すなわち

SX(pc)(f)=S^W(tw)(f)|1−λ k=1p λ ke−i2λ fk δ tを得ることができる。|2

S^W(lw)の統計的性質(.）は次の大きいサンプル結果のために扱いやすいです。 S^W(d)(λ)が実際にピリオドグラムである場合（すなわち、Wtの値をテーパしていない場合）、rvsの集合S^W(d)(j/(n−p)Δ T),j=1,2,…,j,,はほぼ対に無相関であり、各rvはa λ22,rvに比例している（ここで、JはJ/(n-p)<1/2を満たす最大の整数である）。 先細りを使用してSw(d)(θ)を形成した場合、等間隔の周波数の粗いグリッド上で定義されたより小さなrvのセットについても同様のステートメントが真であり、先細りの程度が増加するにつれて、ほぼ相関していないrvの数は減少する。 Ｓｄｆ Ｓｗ（λ）が周波数にわたってゆっくりと変化している（プレホワイトニングはこれを真にするのに役立つ）という仮定と、ｓｗ（λ）の変化と比較して平滑化窓の中心ローブが十分に小さいという仮定の下では、式（１）のＳ^Ｗ（ｄ）（ｆ）は、式（１）のＳ^Ｗ（ｄ）（ｆ）に従う。 (11.15)は、無相関σ22rvsの線形結合によって近似することができます。 次に、標準的な「等価自由度」引数を使用して、S^W（lw）（f）の分布を近似することができます。 （Eq. (11.17)

S^W(lw)(λ)を計算するには二つの実用的な方法があります。 最初の方法は、Eqを離散化することです。 (11.ここで、値ｏｆｆｋ’は等間隔の周波数のいくつかのセットである。Ｆ−ｆｋ’）ＳＷ（ｄ）（ｆｋ’）の形式の畳み込みに比例する推定器を生成する。Ｆ−ｆｋ’）ＳＷ（ｄ）（ｆｋ’）の値ｏｆｆｋ’は等間隔の周波 第二の方法は、Eqを書き換えるために、”あるフーリエ領域での畳み込みは他の領域での乗算と同等である”ことを思い出すことです。 (11.15)as

(11.16)S^W(lw)(f)=λ=−(n−p−1)n−p−1wt,mc^λ.w(e)e−l2n/λ δ λ

ここで、C^λ。Ｗ（ｄ）は、式中で与えられるａｃｖｓ推定量である。 (11.9)S^W(d)(に対応する。）、および{wt.m}はラグウィンドウである（これは、平滑化ウィンドウWm(θ)の逆フーリエ変換とみなすことができる）。 実際には、S^W（d）（。 は三角多項式であり、Θ Kwm(f−fk’)s^W(d)(fk’)の形式のすべての離散畳み込みは、式を介して計算することもできます。 (11.16)wt,m値の適切な選択を伴う(詳細については、セクション6.7を参照)。 S^W（l、w）を計算する2つの実用的な方法（。）したがって等価推定量が得られる。 離散畳み込みが十分に短い場合を除き、Eq. （11.16）は計算上高速に使用できます。

統計理論は、合理的な仮定の下で、

(11.17)vS^W(lw)(f)Sw(f)=dxv2

を良い近似にすることを示唆しています。vはS^W(lw)(f)の等価自由度と呼ばれ、v=2(n−p)Bw Δ T/Chで与えられます。 ここで、ｂｗは、平滑化窓の帯域幅の尺度であるＷｍ（λ）ａ）ｎｄは、ＢＷ＝１／Δ Ｔ Λ Ｔ＝−（ｎ−ｐ−１）ｎ−ｐ−１ＷＴ、ｍ２によって計算することができる。;;一方、ChはWtの値に適用されるテーパーにのみ依存し、Ch=(n−p)≤1=p+1nht4を介して計算することができます。ch=(n−p)≤1=p+1nht4明示的にテーパーをしない場合、ht=1/n-pandしたがってCh>1;典型的なデータテーパーの場合、コーシーの不等式はCh>1（例えば、ハニングデータテーパーの場合はCh≤1.94）であることを示しています。 したがって、s^W(lw)(f)の等価自由度は、平滑化ウィンドウ帯域幅を増加させるにつれて増加し、先細りの程度を増加させるにつれて減少します。 式（11.17）は、E≤SW（f）およびV≤SW2（F）/vであることを示しているため、vを増やすとVが減少します。

(11.17)は、以下の方法でSW(f)の信頼区間を構築するために使用することができる。Nv(α)をxv2分布のα×100%パーセントポイント、すなわちP=αとする。Ｓｗ（ｆ）に対するａ１ ０ ０（１−２α）％信頼区間は、次式で近似的に与えられる。

(11.18)

パーセンテージポイントσ(α)は、多数の教科書で表わされているか、best And roberts

によって与えられるアルゴリズムを使用して計算することができます。(11.18)の信頼区間は、その長さがs^W(lw)(f)に比例するという点で不便です。 一方、10の対応する信頼区間。log10(Sw(f))(すなわち、デシベルスケールのSW(f))はちょうどです

これは、S^W(lw)(とは独立した幅を持ちます。). これは、sdf推定値をデシベル（または対数）スケールでプロットするための根拠です。

途方もない数の異なるラグウィンドウが文献で議論されています（参照）。 ここでは、よく知られているParzen fag window（Parzen）の例を1つだけ示します：

wt。m=1-6τ∼2+6|τ∼|3日|τ|≦m/22(1-τ∼)3m/2<|τ|≤m0,|τ|>m

ｍは正の整数およびτ=τ/mとなります。 このグウィンドウが簡単に計算するため、sidelobesが封筒に崩壊してf-4のように平滑画面に漏れない問題です。 良い近似では、Parzenラグウィンドウの平滑化ウィンドウ帯域幅は、Bw=1.85/(m δ t)で与えられます。 Mが増加すると、平滑化ウィンドウ帯域幅が減少し、結果として生じるラグウィンドウ推定器は外観が滑らかでなくなります。 関連する等価自由度は、v=3.71(n-p)/(mCh)によって近似的に与えられる。 M=32のParzenラグウィンドウとそれに関連する平滑化ウィンドウを図7に示します。

図1.1.1.7. Parzenラグウィンドウ（a）とm=32の対応する平滑化ウィンドウ（b）。 平滑化ウィンドウ帯域幅はbw=0.058です。

一例として、図8(a)は、ワイヤウェーブゲージデータ(実線曲線)の後色付きラグウィンドウ推定器と、対応する後色付き直接スペクトル推定器(ドット、これらは図6(b)に示すのと同じ推定値を示しています)を示しています。 ここでは、平滑化ウィンドウパラメータにm=237の値を使用してParzenラグウィンドウを使用しました（対応する等価自由度vは64です）。 この値は、いくつかの実験の後に選択され、0.4と4.0Hzの間の周波数のための直接スペクトル推定器によって示される重要なスペクトル特徴のす また、垂直方向の高さが10≤log10(SX(f))の95%信頼区間の長さを表し、水平方向の幅が平滑化ウィンドウ帯域幅BWを表す十字をプロットしました

図1.1.1.8. Postcolored Parzen lag window spectral estimate-solid curve on plot(a)—AND WOSA spectral estimate-solid curve on(b)—for wire wave gauge time series. Parzenラグウィンドウの平滑化ウィンドウパラメータはm=237で、v=64の等価自由度が得られました。 WOSAスペクトル推定値は、256のデータポイントを持つブロック上のハニングデータテーパーを使用して形成され、隣接するブロックは50％重複します。 この推定値の等価自由度はv=59です。

WOSAスペクトル推定器。 ここで、分散削減への第二の一般的なアプローチ、すなわちWelchの重複セグメント平均化（Welch;Carterとその中の参考文献）を考えてみましょう。 基本的な考え方は、時系列をいくつかのブロックに分割することです（つまり、 各ブロックの直接スペクトル推定値を計算し、これらのスペクトル推定値を一緒に平均化することによってWOSAスペクトル推定値を生成します。 一般に、ブロックは重なり合うことができ、重なり合う程度は先細りの程度によって決定されます—先細りの程度が重いほど、より多くのブロックが重 したがって、時系列の最初と最後を除いて、あるブロックで大きくテーパーされたデータ値は、別のブロックで軽くテーパーされるので、直感的には、あるブロックでテーパーされて失われた”情報”を、それを重なり合うブロックから取り戻しています。 高速フーリエ変換アルゴリズムを使用して計算効率の高い方法で実装でき、非常に長い時系列（または時間変化するspectmmを持つ時系列）を処理できるため、WOSA推定方式は市場に出回っている市販のスペクトラムアナライザの多くの基礎となっている。＜５ ３ ０ ２＞＜７ ５ ４ ０＞＜５ ０ ３ １＞ＷＯＳＡスペクトル推定量を定義するために、ｎｓをブロックサイズとし、ｈ１，とする。..、hnsはデータテーパーである。 インデックスlから始まるns連続データ値のブロックに対するSx(f)の直接スペクトル推定量を

S^l,X(d)(f)=Δ T|λ t=1nshtxt-l−1e−l2n/λ δ λ|2,1≤l≤n+1-nsと定義

(ここではΣではなくプレホワイトニング系列{Wt}を使用できない理由はありませんが、プレホワイトニングはWOSAと組み合わせて使用されることはほとん SX(f)のWOSAスペクトル推定量は

と定義されている(11.19）S^X（wosa）（f）=1nb≤j=0nb−1S^js+t.x（d）（f）=1nb≤j=0nb-1S^js+t.x（d）（f）=1nbである。)

ここで、ｎｎはブロックの総数であり、ｓは０＜２ ４ ９ ９＞ｓ≦ｎｓを満たす整数シフト係数であり、ｓ（ｎｂ−１）＝ｎ−ｎｓ（ｊ＝０のブロックはデータ値λ１，を使用することに注..,Xns,j=nB-1のブロックはXn-ns+1であるが、…、Xe）。

S^X(wosa)(f)の大きなサンプル統計的性質は、ラグウィンドウ推定量の統計的性質によく似ています。 特に、VS^X（wosa）（f）/Sx（f）=dxv2という近似がありますが、等価自由度vは

v=2nb1+2≤m=1nb−1（1−mna）|≤t=1nshlht+msで与えられます|2

(ここで、すべてのt>nsについて定義によりht=0）。 ハニングデータテーパー（工学文献で一般的な推奨事項）を使用して50％ブロック重複（すなわち、s=ns/2）の場合に特化すると、これは簡単な式v≤36nb21（19nb-1）で近似 したがって、ブロックnBの数が増加するにつれて、等価自由度も増加し、分散が低減されたスペクトル推定器が得られる。 しかし，ＳＸ（λ）が比較的特徴のないｓｄｆを持たない限り，主に分解能の損失のために個々の直接スペクトル推定量に深刻なバイアスを生じることなく，ｎｂを任意に小さくすることはできない。 （上記の結果の詳細については、セクション6.17を参照してください。)

図8(b)は、ワイヤウェーブゲージデータのWOSAスペクトル推定量(実線曲線)を示しています。 この系列のデータ値はn=4096です。 いくつかの実験では、ns=256のブロックサイズとHanningデータのテーパーが、WOSAを使用して0.4と4.0Hzの間のsdfを推定するための合理的な選択であることが示され ５ ０％のブロック重複では、シフト係数は、ｓ＝ｎｓ／２＝１ ２ ８であり、ブロックの総数は、ｎｂ＝１＿δ（ｎ−ｎｓ）＋１＝３ １であり、等価自由度ｖは、約５ ９である。 WOSA推定値を形成するために一緒に平均化された31個の個々の直接スペクトル推定値は、図8(b)のドットとして示されています。

また、図8(a)のような”帯域幅/信頼区間”の十字形もプロットしましたが、”帯域幅”(つまり、水平幅)は、ほぼ相関していないスペクトル推定値間の周波数の距離です。 Ｔ ｈは、帯域幅の測定値であり、ＷＯＳＡで使用されるブロックサイズｎ ｓおよびデータテーパーの関数である。 ハニングテーパーの場合、帯域幅は約1.94/(ns δ t)です。 図8(a)と図8(b)の十字形は非常に類似しており、色付き後のParzenラグウィンドウとWOSAスペクトル推定値の統計的特性が同等であることを示しています: 実際、実際の推定値は密接に一致し、WOSA推定値は外観がわずかに滑らかである。

ラグウィンドウまたはWOSAスペクトル推定のいずれかに興味深いaltemativeは、トムソンのマルチテーパーアプローチです。 マルチテーパースペクトル推定は、二つ以上の等価な自由度（典型的な値は4から16）を持つ直接スペクトル推定器を生成する方法とみなすことができる。 このように、マルチテーパー法は、高度に平滑化されたスペクトルを生成しようとしないという点で、他の二つの推定量とは精神的に異なっている。 しかし、2から10への自由度の増加は、sdfの95%信頼区間の幅を一桁以上縮小し、したがってスペクトル推定値の変動を人間の目が容易に全体的な構造を識別できる点まで減少させるのに十分である。 マルチテーパーアプローチに関する詳細な議論は、の第7章に記載されています。 ここでは、単に主なアイデアをスケッチします。

マルチテーパースペクトル推定は、K個のデータテーパー{ht.k;t=1,…ここで、ｋは０からＫ−１の範囲である。 これらのテーパーは正規直交であると仮定する（すなわち、j=kであればλ t=1nht,jht,k=1であり、j≤kであれば0である）。 最も単純なマルチテーパー推定量は、

S^X(mt)(f)=1K≤K=0K−1S^K,X(mt)(f)Withs^k,x(mt)(F)Δ t|λ t=1nht,KXte−i2λ ft δ λによって定義されます|2

(トムソンは、単にそれらを一緒に平均化するのではなく、s^k,X(mt)(f)を適応的に重み付けすることを提唱している）。 S^k,X(mt)(λ)に対するこの定義の式との比較。 (118)は、S^k,X(mt)(λ)が実際には単なる直接スペクトル推定量であることを示しているので、マルチテーパー推定量は、テーパーの正規直交セットを使用する直接スペ 特定の穏やかな条件下では、テーパーの正規直交性は、個々のS^k,X(mt)(f)のおおよその独立性として周波数領域に変換されます。S^j.X(mt)(f)。 次に、近似的独立性は、2KS^k、X（mt）（f）/SX（f）=dx22k近似的であることを意味し、したがって、S^X（mt）（f）の等価自由度は、使用されるデータテーパーの数の2倍に等しい。

キートリックは、K個の正規直交列のセットを見つけることです。 一つの魅力的なアプローチは、固定解像度帯域幅2Wのためのdpssテーパーを与えた濃度問題に回帰することですこのテーパーをゼロ次dpssテーパーと呼び、{h,,()}で表すと、残りのK-1″高次”dpssテーパー{ht,k}を次のように再帰的に構築することができます。 K=1の場合、…ここで、ｋ次のｄｐｓｓテーパーは、ｎ個の数の集合｛ｈ ｔ，ｋ；ｔ＝１，．..＜５ ３ ０ ２＞１＜５ ０ ３ １＞｛ｈ Ｔ，ｋ｝は、ｋ個の配列｛Ｈ Ｔ，（）｝、…、｛Ｈ ｔ，（ｋ−１）｝のそれぞれに直交するように、すなわち、λ ｔ＝１ １ｈｔである。Jht.j=0に対してk=0,…、k-1);

2

{ht,k}は、λ t=1nht,k2となるように正規化されます=1;

3

条件に応じて]および2、{htに対応するスペクトル窓Hk(λ)。k}は、濃度比を最大化します

γ−wwHk(f)df/γ−f(N)f(n)Hk(f)df=γ k(n,W)

つまり、すべての低次dpssテーパーに直交するという制約の下で、k次dpssテーパーは、そのスペクトルウィンドウのサイドローブが濃度比によって測定されるよ Dpssデータ先細りを計算する方法は、第8章で説明されています。

一連の論文では、Slepian（およびその中の参考文献）はdpssの性質を広範囲に研究しています。 彼が論じている重要な事実の一つは、濃度比σ k(n,W)はkが増加するにつれて厳密に減少し、σ k(n,W)はk<2nw Δ Tに対して1に近くなり、その後kの増加に伴って急速に0に近づく（2nw δ tの値はシャノン数と呼ばれることもある）ことである。 Λ k(n,W)は{ht,k}が適切なデータテーパーであるためには1に近くなければならないため、マルチテーパースペクトル推定は、せいぜい2nw δ t正規直交dpssテーパーの使用に制限されている。

マルチテーパースペクトル推定の例を図9に示します。 プロットの左側の列は、n=4096、nW=4/Δ T、および0(上のプロット)からK-1=5(下のプロット)までのk次のdpssデータのテーパーを示しています。 これらの各プロットの細い水平線はゼロレベルを示しているため、ゼロ次のdpssはどこでも厳密に正ですが（t=1とt=nの近くでは0に非常に近い）、高次のテーパーは正と負の両方の値を前提としています。 また、ゼロ次テーパーは、t=1およびt=nに近い時系列の値を大きくダウンウェイトしますが、これらの値は高次テーパーによって連続してより多くの重みが与えられます（マルチテーパーの解釈の一つは、高次テーパーが単一のデータテーパーが使用されているときに”失われた”情報を再キャプチャしているということです）。 図9(b)の実線曲線は、これらの6つのdpssテーパーに基づくワイヤーウェーブゲージデータのマルチテーパースペクトル推定S^X(mt)(λ)を示していますが、ドットは六つの個別の直接スペクトル推定S^K.X(mt)(λ)を示しています。 使用したテーパーの数はシャノン数2nw δ t=8以下であり、等価自由度であるvはここで2K=12であることに注意してください。 マルチテーパースペクトル推定値は、図8(a)のラグウィンドウスペクトル推定値または図8(b)のWOSA推定値よりも外観がはるかにチョッパーであり、どちらも等価自由度の数が著しく高い(それぞれv=64およびv=59)。 それにもかかわらず、マルチテーパースペクトル推定値の変動は十分に小さいので、目は容易に全体的な構造を検出することができます（cf. S^X(mt)(θ)は図5の二つのスペクトル推定値を使用しており、高度に平滑化されていないため、マルチテーパー推定値はf=0付近のスペクトル構造をキャプチャする際に著しく優れています。

図1.1.1.9. マルチテーパースペクトル推定

性能境界に基づいて、Bronez[16]は、マルチテーパースペクトル推定器は、非常に高いダイナミックレンジを持つsdfのWOSAよりも優れた統計的特性を持っていると主張しています（ただし、これらの境界が実際には実際の利点になることを確認するには、より多くの研究が必要です）。 プレホワイトニングと比較して、マルチテーパリングは、漏れがconcemであるが、慎重にプレホワイトニングフィルタを設計することは実用的ではない状況で有用である（これは、例えば、日常的に収集された膨大な量の時系列のために探査地球物理学で起こる）。 最後に、ThomsonとChave[17]は、WOSAと組み合わせてマルチテープリングを使用する魅力的なスキームを記述していることに注意してください。

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