Nlab Cantor's theorem

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Summary

Georg Cantorは多くの定理を証明しましたが、通常Cantorの定理と呼ばれるものは、Cantorの新しい集合論の最初の非自明な定理です。

（この定理は無限集合だけでなく、すべての集合に適用されますが、有限集合ではかなり明白です。)

カントールの定理は、異なる（しかし、彼の定理のカントールの解釈を正当化することが重要であるため、関連している）カントール“Schroeder–バーンスタインの定理（基数を参照）と混同すべきではない。

歴史

カントール以前は、人々は無限大（信じているかどうかにかかわらず）を絶対的な概念として考える傾向がありました。 無限集合に全射ではない自己注入を与えることが可能であることが（例えばガリレオによって）注目されていました; 例えば、偶数の整数を倍加することによって整数に含める。 したがって、ここには、一見したところEEが小さいように見えても、実際には同等の2つの無限大「偶数の整数の無限EEとすべての整数の無限NN」があり

カントールは、そのような同値は実数RRで失敗することを示した：NNからRRへの写像は（RRが無計画であるように）全射であることはできない。 彼の最初の引数はアドホックでしたが、彼はこれを対角引数で一般化して、任意の集合SSからその冪集合ð ￮'”S\mathcal{P}Sへの写像が射影的ではないことを示 （CantorがRRとσ'”n\mathcal{P}Nの間の全単射を見つけたので、これはRRの無計画さをカバーしていましたが、これはcantor—Schrã¶der–Bernstein定理のインスタンスと見なすことがで）SSからð ￮'”S\mathcal{P}Sへの明白な単射写像（シングルトンマップ）があるので、Cantorは、一方の基数は他方の基数よりも厳密に小さいと結論づけた。

カントールの議論は、彼の集合論全体と同様に、当時は議論の余地があった。 クロネッカーのように、すべての数学は有限の数学でなければならないと信じていた人は、それは無意味だと考えました。 BrouwerやWeylのようなより穏健な初期の構成主義者は、それにはほとんど意味がないことを発見しました。 （特に、RRとð ￮'”n\mathcal{P}Nの間の全単射は建設的に有効ではないため、rrについては直接何も言いませんが、rrが無計画であるというcantorの元の証明は機能)

しかし、以下に述べる定理のバージョンは建設的に有効であり、定理は（関数集合を持つ限り）述語的にも有効である。 （しかし、その解釈はあまり明確ではありません。）それらは実際には任意のトポスの内部言語における定理である（そして定理は任意のPi\Pi-pretoposの定理である）。

文と証明

定理

（Lawvereのバージョン。)

集合SSとVVが与えられたとき、SSから関数集合S≤’VS\からV（V SV^Sとも書かれる）への全射があると仮定する。 このとき、任意の写像n:V†Vn\colon V\からVへの固定小数点を持つ。x:Vx\colon V.

(これはLawvereの不動点定理に一般化されます。)

証明

f：S†’（S†’V）f\colon S\から（S\からV）を任意の関数とし、関数g：S†’Vg\colon S\からVを

g（a）=n（f（a）（a））で与えられるとします。 g（a）=n（f（a）（a））。つまり、ffをS×SS\times SからVVへの関数として解釈するためにカリー化を使用する場合、ggは対角写像ΔS\Delta_Sを使用して

S⢒¢”SS×S⢒fV⢒nVとして定義されます。 S\stackrel{\Delta_S}\をs\times S\stackrel{f}\からV\stackrel{n}\からVに変換します。ここで、ffが全射であると仮定します。 それからいくつかの要素がなければなりませんa:Sa\colon しかし、

g(a)=n(f(a)(a))=n(g(a)),g(a)=n(f(a)(a))=n(g(a)),

だからg(a)g(a)はnnの不動点である。

対角マップΔS\Delta_Sの存在は、この証明が対角引数と呼ばれる理由を説明しています。 （この説明は時代錯誤ですが、道徳的に正しいです。）Lawvereâ™sの証明はまた、Y（n）Y（n）は任意の項nnの固定小数点である型指定されていないラムダ計算におけるYY’または固定小数点コンビネータを（実際には一般化）説明しています。

すぐに（たとえ建設的に）VVが固定小数点を持たない自己写像を持つならば、SSからS≤’VS\への写像は全射になり得ないということになる。 実際には、ffの失敗が全射であることよりも少し強い（しかし古典的には同等の）ものがあります：実際には、ffの範囲内の任意の値と等しくないS→VS\to Vの要素ggが存在します。 （VVにapartness関係がある場合、nnの対応するより強い仮説に対してさらに強い結果を得ることができますが、それは以下のバージョンには適用されません。)

定理

（カントールのバージョン。集合SSが与えられたとき、SSから冪集合ð ￮'”S\mathcal{P}Sへの射影は存在しない。

証明

vvを真理値の集合とし、n:V∈’vn\colon V\to Vを否定とする。 Nnは固定小数点を持たないので、定理を適用してください。否定は建設的な数学においてその通常の性質のすべてを持っていないが、p=Pp=\neg{p}はまだ不可能であることに注意してください。

次のバージョンは、以前のバージョンと古典的に同等です（少なくともcheck'”s\mathcal{P}Sが生息していることを確認した場合）が、建設的に同等ではありません。 （確かに、定理とは異なり、apparently'”S\mathcal{P}Sがv SV^Sに置き換えられたとき、それは明らかに建設的な類似体を持たない）この議論はtaylorの実用的な基礎の命題2.8.8からのものです（それが本当にそこに由来したのかどうかはわかりませんが）。

セットSSが与えられた場合、ð ￮'”S\mathcal{P}Sからssへの注入はありません。

証明

I：Si’”S→Si\colon\mathcal{p}S\からsまでを任意の関数とする。 次のようにfを定義します。

f（a）={b:S/∀(U:i(u)=a⢒bâ¢u}である。 f f（a）=\{b\コロンS\;|\;\forall（U\コロン\mathcal{P}S）、\;i（U）=a\;\Rightarrow\;B\でU\}。

iiが注入であれば、ffはiiの後退であり、したがって全射であり、定理によっては不可能である。

もちろん、Cantorも定理を証明しましたが、彼の証明は建設的ではありませんでした。

定理を組み合わせることができ、Johnstone’s ElephantのD4.1.8から取られた以下のさらに一般的な声明に入れることができます。

（ジョンストンのバージョン。)

集合SSが与えられたとき、その冪集合σ’”s\mathcal{P}Sはssの部分商として表現することはできません。

証明

と仮定したセットBBの入射i:B↪Si\コロンフィルハーモニー hookrightarrow S surjection f:B→親ってい’”Sf\colon B\to\mathcal{P}S.のpreimage機能i*:親ってい’”S→親ってい’”Bi^*\colon\mathcal{P}S\to\mathcal{P}Bれsurjectionもっと*∃ i=1親ってい’”Bi^\ast\exists_i=1_{\mathcal{P}B})のように画像の機能∃ f:親ってい’”B→親ってい’”親ってい’S\exists_f\colon\mathcal{P}B\to\mathcal{P}\mathcal{P}S（∃ ff*=1親ってい’”親ってい’S\exists_f f^\ast=1_{\mathcal{P}\mathcal{P}S}). したがって、それらの複合体は、定理によって不可能である\mathcal{P}\Mathcal{P}S\への射影’'”s→ð ￮’”ð ￮’”s\mathcal{P}Sになります。

解釈

シングルトンマップによって与えられるssからð ￮’”s\mathcal{p}Sへの注入が存在することに注意してください。 したがって、基数の算術演算では、

|S|â≤|≤’”s|があります。 {|S|}\leq{|\mathcal{P}S|}。

しかし、そのような全射がないので、確かに全射はなく、

|S|â¢|¢’”s|があります。 {|S|ne{|\mathcal{P}S|}です。

だから、

|s|<|ð ￮’”s|と結論づけます。 {|S|lt{|\mathcal{P}S|}です。

つまり、各集合はその冪集合よりも基数が厳密に小さい。

この解釈は、基数のクラス上のâ≤leqと==の間の良好な関係に依存しています。 建設的な数学では、この関係は欠けており、上記の意味で2つの集合がそれぞれ互いに厳密に小さくなる可能性は十分にあります。 定理のおかげで、これは集合とその冪集合では不可能ですが、相対サイズとしての<\ltの解釈は、整数よりも偶数が少ないという考えと同じくらい問題

Paul Taylorは、Cantorの定理の本質的な価値は、Bill Lawvereが定理として孤立したcantorの証明に暗黙の補題であると主張している。 定理の主な解釈は、特定の集合論的文脈（特に、Cantor–Schroeder–バーンスタインの定理が保持するもの）でのみ意味があるように、それはその文脈の優位性を転覆â€revolution’ しかし、Lawvereの補題は、Cantorの定理â€はcredit’を取りながら、それはwork’を行いâ€ので、生き残るだろう。 （Credit’を取る仕事と定理を行うâ€補題のさらなる議論のために、以下のテイラー2009を参照してください。)

posets

において、集合に対するカントールの定理に類似した定理は、他のデカルト閉圏に対して定式化することができる。 特に、基数22が離散的なposetではないposet間に全射X∈’2XX\から2^Xを持つことが可能かどうかを尋ねることができます{0,1}\{0, 1\} しかし、むしろ順序{0≤1}\{0\leq1\}。

答えはそのような射影はありませんf：X→2Xf: X\to2^X,しかし、これはLawvere’sの固定小数点定理の単純な適用からは導かれません,一つは、固定小数点を持っていないマップの存在を呼び出すことによ). してアピールの一部原濃度の引数（例えば、”○○は、通常のɉ\omega,そして2×2^XがâŠ円⩔ɉop\ボット\sqcup\omega^{op}(自由に隣接ボトム要素⊥\ボットをɉop\omega^{op})のカーディナリティ. だから、いくつかの他の証拠を求めなければなりません。

x≤’2XX\から2^Xへの射影がないことを証明することは面白い練習です。 （任意のトポスに内部化）攻撃の一つの行は、ここで見つけることができます。

  • ローヴェレの不動点定理

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