일관된 추정
11.2.3 분산 감소
그림 5 와 6 의 와이어 게이지 시리즈에 대한 스펙트럼 추정치의 간단한 검사는 주파수에 걸쳐 상당한 변동성을 보여 주므로 상당한 양의 연구없이 스펙트럼 추정치의 전체 구조를 식별하기가 어렵습니다. 모든 직접 스펙트럼 추정기는 이러한 고유 한 초조함으로 고통받으며,이는 분배 특성을 고려하여 설명 할 수 있습니다 에스^엑스(디)(에프). 첫째,에프 0 에 너무 가깝지 않은 경우 에프(엔)그리고 만약 에스 와(디)(에프)/에스 와(에프)=디에스 22;즉,아르 자형 2 에스^와(디)(에프)/에스 와(에프)는 카이 제곱과 거의 같습니다. 테이퍼링을 사용하지 않는 경우 에프 0 에”너무 가깝지 않음”으로 간주되거나 에프(엔)1/(엔-피)에프<에프<에프(엔)-1/(엔-피)에프(엔)-1/(엔-피)에프(엔)-1/(엔-피; 테이퍼링이 사용되는 경우,우리는 1/(엔-피)스펙트럼 윈도우의 중앙 로브의 증가 된 폭을 반영하여 더 큰 용어로 대체해야합니다(예를 들어,해닝 데이터 테이퍼에 대한 용어는 약 2/(엔-피)에프 그래서 에프”너무 가깝지 않다”2/(엔-피)에프<에프<에프(엔)-2/(엔-피)에프(엔)-2/(엔-피)에프(엔)-2/(엔-피)에프(엔)-2/(엔-피)에프(엔).이 방정식에는 두 개의 자유도가 있습니다.이 방정식에는 두 개의 자유도가 있습니다. 이 결과는 무게의 수 독립적,우리는: 다음과 같은 통계와 달리 표본 평균 독립적이고 동일하게 분포 된 가우스 아르 자형,분산 에스^승(디)(에프)는 표본 크기가 커짐에 따라 0 으로 감소하지 않습니다. 이 결과는 그림 5 와 6 에 표시된 직접 스펙트럼 추정치의 촘촘함을 설명합니다. 통계 용어에서 에스^승(디)(에프)는 일관성없는 추정기입니다.
우리는 이제 남서(에프)의 일관된 추정치를 얻기위한 세 가지 접근 방법을 설명합니다. 각 접근 방식은 결합에 기반 아르 자형 그,적절한 가정 하에서,대략 쌍으로 간주 될 수 있습니다 상관 관계없는 추정기 의 남서(에프). 각 세그먼트에 대한 직접 스펙트럼 추정치를 계산한 다음 이 추정치를 함께 평균화하여 웰치의 겹쳐진 세그먼트에 대한 스펙트럼 추정치를 산출합니다.;
3
일련의 직교 데이터 테이퍼를 사용하여 일련의 직접 스펙트럼 추정치를 계산 한 다음 이러한 추정치를 함께 평균화하여 톰슨의 멀티 종이 스펙트럼 추정치를 산출합니다.
래그 윈도우 스펙트럼 추정기(11.15)의 래그 윈도우 스펙트럼 추정기는
평활화 매개 변수에 의해 평활화 속성이 제어되는 평활화 창입니다. 즉,추정기 에스^승(라)(라)(라)는 직접 스펙트럼 추정기 에스^승(라)(라)와 평활화 창을 뒤틀어 얻어진다. 일반적인 스무딩 창은 스펙트럼 창과 거의 같은 모양을 갖습니다. 평활화 매개 변수로 조정할 수있는 폭을 가진 중심 엽이 있습니다 미디엄:이 중앙 엽이 넓을수록 부드럽게 에스^와(와)(와)(와)(와)될 것입니다. 또한 매끄러운 창 누출을 일으키는 성가신 사이드 로브 세트가있을 수 있습니다. 평활화 창 누설의 존재는 쉽게 플롯을 오버레이에 의해 감지 에스^승(루)(루)(루)(루)에스^승(루)(루)(루)에스^승(루)(루)(루)및 에스^승(루)(루)전자가 후자의 평활화 버전으로 나타나지 않는 주파수의 범위를 찾고.
만약 우리가 사용했 AR prewhitening 필터링할 수 있습 postcolor S^W(lw)(⋅)를 구하는 견적의 Sx(⋅),즉,
의 통계적 특성 S^W(lw)(.)다음과 같은 큰 샘플 결과 때문에 다루기 쉽습니다. 만약 에스^승(디)(디)(2499>1/2).에 비례 함.에스^승(디)(2499>1/2).에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함.에 비례 함. 만약 우리가 테이퍼링을 사용하여 남서(디)(디)(디)(디)를 형성했다면,비슷한 진술은 동등한 간격의 주파수의 더 거친 격자에 정의 된 더 작은 집합에 대해 사실입니다—테이퍼링의 정도가 증가함에 따라,대략 상관되지 않은 곡선의 수가 감소합니다. 따라서,평활화 윈도우의 중심 엽은 평활화 윈도우의 변화에 비해 충분히 작다. (11.15)는 상관 관계가없는 선형 조합에 의해 근사 될 수있다. 그런 다음 표준”동등한 자유도”인수를 사용하여 다음과 같은 분포를 근사 할 수 있습니다. (참조 식. (11.17)나중에).
두 가지 실용적인 컴퓨팅 방법이 있습니다. 첫 번째 방법은 식 이산하는 것입니다. (11.15),폼의 회선에 비례 한 추정기를 산출하는 것.(에프-에프케이’)남서(디)(에프케이’),여기서 값 오프케이’는 동일한 이격 주파수의 일부 집합입니다. 두 번째 방법은”한 푸리에 도메인의 회선은 다른 푸리에 도메인의 곱셈과 동일합니다”를 다시 작성하는 것입니다. (11.15)
통계 이론은 합리적인 가정 하에서
식의 근사. (11.17)는 다음과 같은 방식으로 신뢰 구간을 구성하는 데 사용할 수 있습니다.100%퍼센트 포인트(100%퍼센트 포인트)는 100%퍼센트 포인트(100%퍼센트 포인트)를 나타냅니다(100%퍼센트 포인트)는 100%퍼센트 포인트(100%포인트)를 나타냅니다(100%포인트).신뢰 구간(에프)에 대한 신뢰 구간(에프)에 대한 신뢰 구간(에프)에 대한 신뢰 구간(에프)에 대한 신뢰 구간(에프)에 대한 신뢰 구간
(5302>
신뢰구간(11.18)은 길이가 비례한다는 점에서 불편하다. 반면에 10 에 대한 해당 신뢰 구간입니다.데시벨 스케일의 로그 10(남서(에프))(즉,남서(에프))는 단지
이는 독립적 인 너비를 가지고 에스^승(엘 와트)(.). 이것은 데시벨(또는 로그)척도로 자위대 추정치를 플로팅하는 근거입니다.
문헌에서 서로 다른 지연 창 수가 어리둥절하게 논의되었습니다(참조). 여기서 우리는 잘 알려진 파젠 호모 창(파젠):
어디 m 은 양의 정수와 τ=τ/m. 이 창을 쉽게 계산하고 있 sidelobes 의 봉투 부패 f-4 도록 부드럽게 창 누설은 거의 문제가 발생하지 않습니다. 좋은 근사치로,파젠 지연 창에 대한 평활화 창 대역폭은 다음과 같습니다. 미디엄 증가함에 따라 스무딩 창 대역폭이 감소하고 결과 지연 창 추정기가 모양이 덜 부드러워집니다. 관련 등가 자유도는 대략 다음과 같이 주어집니다. 에 대한 파젠 지연 창 미디엄=32 및 관련 스무딩 창은 그림 7 에 나와 있습니다.
그림.7. 파젠 지연 창(에이)해당 스무딩 창(비)미디엄=32. 평활화 창 대역폭은 0.058 입니다.
예를 들어,도 8(에이)은 와이어 웨이브 게이지 데이터(솔리드 커브)에 대한 포스트 컬러 래그 윈도우 추정기와 대응하는 포스트 컬러 직접 스펙트럼 추정기를 도시한다(도트들은,도 6(비)에 도시된 것과 동일한 추정치를 도시한다). 파젠 지연 창은 평활화 창 매개 변수에 대해 미디엄=237 의 값으로 여기에 사용되었습니다. 이 값은 일부 실험 후에 선택되었으며 0.4 및 4.0 헤르츠 사이의 주파수에 대한 직접 스펙트럼 추정기에 의해 표시된 중요한 스펙트럼 특징을 모두 캡처하는 지연 창 추정기를 생성하는 것으로 보입니다(그러나,이 추정기는 0.0 및 0.4 헤르츠 사이의 피크를 다소 심하게 번지게합니다). 또한 수직 높이가 10 개의 로그 10 에 대한 95%신뢰 구간의 길이를 나타내는 열십자를 플롯했습니다.
그림.8. 후색 파젠 래그 윈도우 스펙트럼 추정치-플롯의 솔리드 커브(에이)-와사 스펙트럼 추정치—솔리드 커브(비)-와이어 웨이브 게이지 시계열. 파젠 지연 창에 대한 평활화 창 매개 변수는 미디엄=237,생성 브이=64 동등한 자유도. 우사 스펙트럼 추정치는 256 개의 데이터 포인트를 가진 블록에서 해닝 데이터 테이퍼를 사용하여 형성되었으며 인접한 블록은 50%겹칩니다. 이 추정치에 대한 동등한 자유도는 59 입니다.
우사 스펙트럼 추정기. 우리가 지금 분산 감소에 대한 두 번째 일반적인 접근 방식을 고려하자,즉,웰치의 중복 세그먼트 평균화(웰치;카터와 거기에 참조). 기본 아이디어는 시계열을 여러 블록(예:,세그먼트),각 블록에 대한 직접 스펙트럼 추정치를 계산 한 다음 이러한 스펙트럼 추정치를 함께 평균화하여 우사 스펙트럼 추정치를 생성합니다. 일반적으로 블록은 겹칠 수 있으며 겹침의 정도는 테이퍼링 정도에 따라 결정됩니다.테이퍼링 정도가 무거울수록 더 많은 블록이 겹쳐 져야합니다(톰슨). 따라서 시계열의 시작과 끝을 제외하고 한 블록에서 심하게 테이퍼 진 데이터 값은 다른 블록에서 가볍게 테이퍼되므로 직관적으로 한 블록에서 테이퍼링으로 인해 손실 된”정보”를 겹치는 블록에서 다시 캡처합니다. 이것은 수학적으로 정확한 유형 계층구조인,강력한 타입을 정의합니다.스펙트럼 추정기를 정의하려면 블록 크기를 나타내고,블록 크기를 나타내고,블록 크기를 나타내고,블록 크기를 나타내고,블록 크기를 나타내고,블록 크기를 나타내고,블록 크기를 나타내고,블록 크기를 나타내고,블록 크기를 나타내고,블록 크기를 나타내고,블록 크기를 나타내고,블록 크기를 나타내고,블록 크기를 나타내고,블록 크기를 나타내고,블록 크기를 나타내고,블록 크기를 나타냅니다…데이터 테이퍼가 될 수 있습니다. 우리는 정의 직접적인 스펙트럼 견적의 Sx(f)한 블록 ns 연속 데이터 값에서 시작 index l 로
(거기에 아무 이유 없이 왜 우리를 사용할 수 없습니다 prewhitened 시리즈{Wt}여기 보다는 오히려 Xt, 하지만 prewhitening 가 거의 함께 사용 WOSA,아마도 때문에 블록 겹치는 것으로 간주는 효율적인 방법의 보상한도의 자유로 인해 손실을 끝). 이 두 가지 유형의 스펙트럼 추정기는 다음과 같이 정의됩니다.19)에스^엑스(와사)(에프)=1(에프)=0(에프)=0(에프)=1(에프)=1(에프)=1(에프)=1(에프)=1(에프)=1(에프))
여기서 엔 엔 총 블록 수이고 에스 0 을 만족하는 정수 시프트 팩터입니다<에스 엔 에스 과 에스(주의 비-1)=엔-엔 엔(참고 블록 제이=0 데이터 값을 사용합니다…이 경우,이 값은 100000000000 으로 계산됩니다…(예).이 두 가지 통계적 특성 중 하나는 지연 창 추정기의 특성과 매우 유사합니다. 특히,우리는 근사 대^엑스(와사)(에프)/에스 엑스(에프)=디엑스 2,,여기서 등가 자유도는
(여기에 대한 모든 정의에 의해 0=4570>엔에스). 우리가 50%블록 오버랩(즉,에스=엔 에스/2)의 경우를 전문으로한다면 해닝 데이터 테이퍼(엔지니어링 문헌에서 일반적인 권장 사항),이것은 간단한 공식으로 근사 할 수 있습니다. 따라서 블록 수가 증가함에 따라 동등한 자유도 또한 증가하여 분산이 감소 된 스펙트럼 추정기를 산출합니다. 그러나 우리는 주로 해상도의 손실로 인해 개별 직접 스펙트럼 추정기에 심각한 편향을 일으키지 않고 임의로 작게 만들 수 없습니다. (위의 결과에 대한 자세한 내용은 섹션 6.17 을 참조하십시오.도 8 은 와이어 웨이브 게이지 데이터(솔리드 커브)에 대한 스펙트럼 추정기를 나타낸다. 이 시리즈에는 엔=4096 데이터 값이 있습니다. 일부 실험에 따르면 해닝 데이터 테이퍼는 0.4 와 4.0 사이의 자위대를 추정하기위한 합리적인 선택입니다. 블록 오버랩이 50%인 경우 시프트 계수는 에스=엔 에스/2=128;총 블록 수는 엔 비=1_ 엔−엔 에스)+1=31;과 브이,동등한 자유도는 약 59 입니다. 31 개의 개별 직접 스펙트럼 추정치를 함께 평균하여 우사 추정치를 형성한 도트는 그림 8(비)의 점으로 표시됩니다.
우리는 또한”대역폭/신뢰 구간”도 8(에이)에 그와 유사한 십자 플롯 한,하지만 지금은”대역폭”(즉,수평 폭)약 상관되지 않은 스펙트럼 추정 사이의 주파수 거리입니다. 이 경우 대역폭의 측정값은 블록 크기 및 데이터 테이퍼의 함수입니다. 해닝 테이퍼의 경우 대역폭은 약 1.94/입니다. 그림 8(에이)과 8(비)의 십자 모양은 매우 유사하여 색 후 파젠 래그 윈도우와 우사 스펙트럼 추정치의 통계적 특성이 비교 가능하다는 것을 나타냅니다: 실제로,실제 추정치는 밀접하게 동의하며,우사 추정치는 외관이 약간 부드럽습니다.
멀티 종이 스펙트럼 추정기. 래그 창 또는 우사 스펙트럼 추정에 대한 흥미로운 대안 은 톰슨의 멀티 종이 접근법입니다. 멀티 종이 스펙트럼 추정은 두 개 이상의 동등한 자유도를 가진 직접 스펙트럼 추정기를 생성하는 방법으로 간주 될 수 있습니다(일반적인 값은 4~16 입니다). 따라서,멀티테이퍼 방법은 고도로 평활화된 스펙트럼을 생성하는 것을 추구하지 않는다는 점에서 다른 두 추정기와는 정신적으로도 다르다. 그러나 자유도가 2 에서 10 으로 증가하면 자위대에 대한 95%신뢰 구간의 폭을 크기 순서 이상으로 축소하여 스펙트럼 추정치의 변동성을 인간의 눈이 전체 구조를 쉽게 논란화 할 수있는 지점까지 줄일 수 있습니다. 멀티 종이 접근 방식에 대한 자세한 논의와 장에서 제공됩니다 7 의. 여기서 우리는 단지 주요 아이디어를 스케치합니다.
멀티 종이 스펙트럼 추정은 케이 데이터 테이퍼의 집합의 사용을 기반으로합니다.케이;티=1,…,엔},여기서 케이 범위 0 에서 케이-1. 우리는 이러한 테이퍼은 정규(즉,∑t=1nht,현저,k=1 는 경우 j=0k 는 경우 j≠k). 가장 단순한 멀티테이퍼 추정기는
(톰슨 지지자 적응 적으로 가중치 에스^케이,엑스(엠)(에프)단순히 함께 평균화하기보다는). 이 정의에 대한 비교 에스^케이,엑스(미디엄)(미디엄)(미디엄)와 식. (118)는 에스^케이,엑스(마)(마)(마)(마)는 사실 단지 직접 스펙트럼 추정기이므로 멀티 종이 추정기는 직교 정규 테이퍼 세트를 사용하는 직접 스펙트럼 추정기의 평균 일뿐입니다. 특정 온화한 조건에서 테이퍼의 직교 성은 주파수 영역으로 변환됩니다 각 개인의 대략적인 독립성 에스^케이,엑스(미디엄)(에프);즉,에스^제이.엑스(미디엄)(에프). 대략적인 독립은 차례로 2 케이^케이,엑스(미디엄)(에프)/에스 엑스(에프)=디에스 22 케이 대략,그래서 동등한 자유도 에스^엑스(미디엄)(에프)는 고용 된 데이터 테이퍼의 두 배와 같습니다.
핵심 트릭은 케이 정규 직교 시퀀스,각 시퀀스는 테이퍼링의 적절한 작업을 수행합니다. 이 문제를 해결하기 위해,이 문제를 해결하기 위해,이 문제를 해결하기 위해,이 문제를 해결하기 위해,이 문제를 해결하기 위해,이 문제를 해결하기 위해,이 문제를 해결하기 위해,이 문제를 해결하기 위해,이 문제를 해결하기 위해,이 문제를 해결하기 위해,이 문제를 해결하기 위해,이 문제를 해결하기 위해,이 문제를 해결하기 위해,이 문제를 해결하기 위해,이 문제를 해결하기 위해,이 문제를 해결하기 위해,이 문제를 해결하기 위해,이 문제를 해결하기 위해,이 문제를 해결하기 위해, 에 대한 케이=1,…,케이-1,우리는 정의 케이티-순서 디피티스테이퍼 집합으로 엔 숫자{티,케이;티=1,…이 경우,상기 제 1 항과 제 2 항에서 제 2 항과 제 2 항에서 제 2 항과 제 2 항에서 제 2 항과 제 2 항에서 제 2 항과 제 2 항에서 제 2 항과 제 2 항에서 제 2 항과 제 2 항에서 제 2 항에서 제 2 항과 제 2 항에서 제 2 항에서 제 2 항과 제 2 항에서 제 2 항에서 제 2 항에서 제 2 항에서 제 2 항에서 제 2 항에서 제 2 항에서 제 2 항에서 제 2 항에서 제 2 항에서 제 2 항에서 제 2 항에서조이예를 들면 다음과 같습니다…k-1);
2
{ht,k}정규화하는 등∑t=1nht,k2=1;
3
한 조건이 적용],2,스펙트럼 창 홍콩(⋅)에 해당하{ht.이 경우,농도비율을 최대화한다.
즉,모든 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층의 하위 계층 데이터 테이퍼를 계산하는 방법은,8 장에서 설명합니다.
일련의 논문에서,슬레피안(그리고 그 안에 있는 참고 문헌들들)은 디스 피스의 성격을 광범위하게 연구해 왔다. 하나의 중요한 사실 그에 대해 설명하는 농도 비 λk(n,W)엄격히 감소로 증가하는 방식으로 λk(n,W)은 통일을 위한 k<2nW Δt,그 후에는 급속하게 접근 0k 증가(값 2nWΔt 은 때로는 Shannon 번호). 따라서,멀티테이퍼 스펙트럼 추정은 최대-및,실제로,일반적으로 더 적은-의 사용으로 제한된다.
다중 종이 스펙트럼 추정의 예가 그림 9 에 나와 있습니다. 플롯의 왼쪽 열은 0(상단 플롯)에서 케이-1=5(하단 플롯)까지의 범위를 나타냅니다. 이러한 각 플롯의 얇은 수평선은 0 수준을 나타내므로 0 차 디피티스는 모든 곳에서 엄격하게 양수이지만(티=1 및 티=엔 근처의 0 에 매우 가깝습니다),더 높은 차수 테이퍼는 양수 값과 음수 값을 모두 가정합니다. 또한 0 차 테이퍼는 시계열의 값을 티=1 과 티=엔,그러나 이러한 값은 고차 테이퍼에 의해 연속적으로 더 많은 가중치가 부여됩니다(멀티 테이퍼링에 대한 한 가지 해석은 고차 테이퍼가 단일 데이터 테이퍼를 사용할 때 정보를”손실”되 찾는 것입니다). 도 9 의 솔리드 곡선(비)은 멀티 종이 스펙트럼 추정치를 보여줍니다 에스^엑스(엠)(엠)(엠)(2)와이어 웨이브 게이지 데이터 이 6 개의 디피팁 테이퍼를 기반으로 한 반면,도트는 6 개의 개별 직접 스펙트럼 추정치를 보여줍니다 에스^케이.엑스(엠)(2)(2). 우리가 사용한 테이퍼의 수는 섀넌 번호 2 이하입니다. 이 두 가지 모두 상당히 높은 자유도를 가지고 있습니다(각각 64 와 59). 그럼에도 불구하고,멀티 종이 스펙트럼 추정치의 변동성은 충분히 작아서 눈이 전체 구조를 쉽게 감지 할 수 있습니다(참조. 그림 5 의 두 스펙트럼 추정치와 함께,그리고 고도로 평활화되지 않았기 때문에 멀티 종이 추정치는 근처의 스펙트럼 구조를 캡처하는 데 현저하게 더 좋습니다.
그림.9. 멀티 종이 스펙트럼 추정
그러나,이러한 경계들이 실제로 실제 이점으로 변환되는지 확인하기 위해서는 더 많은 연구가 필요하다. 사전 미백과 비교할 때,멀티 테이퍼링은 누출이 요약 인 상황에서 유용하지만 사전 미백 필터를 신중하게 설계하는 것은 실용적이지 않습니다(예를 들어,일상적으로 수집 된 엄청난 양의 시계열로 인해 탐사 지구 물리학에서 발생합니다). 마지막으로,우리는 톰슨 과 차브[17 멀티 테이퍼링이 워사와 함께 사용되는 매력적인 계획을 설명합니다.
