합동 관계

합동의 정의는 고려중인 대수 구조의 유형에 따라 다릅니다. 합동의 특정 정의는 그룹,링,벡터 공간,모듈,반 그룹,격자 등에 대해 만들 수 있습니다. 공통 주제는 합동이 대수 구조와 호환되는 대수 객체에 대한 동등성 관계이며,연산이 동등성 클래스에서 잘 정의되어 있다는 의미입니다.

예를 들어,그룹은 특정 공리를 만족시키는 단일 이진 연산과 함께 세트로 구성된 대수 객체입니다. 는 경우 G{\displaystyle G}

그룹으로 작업∗{\displaystyle\ast}

,한 적합성과 관련 G{\displaystyle G}

는 동등 관계≡{\displaystyle\equiv}

의 요소를 G{\displaystyle G}

만족 g1≡g2{\displaystyle g_{1}\equiv g_{2}\ \ \,}

고서 1≡h2⟹g1∗서 1≡g2∗h2{\displaystyle\\\,h_{1}\equiv h_{2}\의미 g_{1}\ast h_{1}\equiv g_{2}\ast h_{2}}

모두 1g{\displaystyle g_{1}}

, g2{\displaystyle g_{2}}

, h1{\displaystyle h_{1}}

, h2∈G{\displaystyle h_{2}\G}

. 그룹에 대한 합동의 경우,신원 요소를 포함하는 등가 클래스는 항상 정상 부분군이며,다른 등가 클래스는 이 부분군의 코셋입니다. 함께,이러한 등가 클래스는 몫 그룹의 요소입니다.

대수 구조가 둘 이상의 연산을 포함하는 경우 각 연산과 호환되도록 합동 관계가 필요합니다. 예를 들어,링을 소유한 모두 더하기와 곱 및 적합성과 관련 링을 충족해야 합

1+s1≡r2+s2r1s1≡r2s2{\displaystyle r_{1}+s_{1}\equiv r_{2}+s_{2}{\text{및}}r_{1}s_{1}\equiv r_{2}s_{2}}

때마다 1≡r2s1≡s2{\displaystyle r_{1}\equiv r_{2}{\text{및}}s_{1}\equiv s_{2}}

. 링의 합동의 경우 0 을 포함하는 등가 클래스는 항상 양면 이상이며 등가 클래스 집합의 두 연산은 해당 몫 링을 정의합니다.

합동 관계의 일반적인 개념은 모든 대수 구조에 공통적 인 아이디어를 연구하는 분야 인 보편적 대수의 맥락에서 공식적인 정의를 부여 할 수 있습니다. 에서 이 설정 적합성에 관하여는 동등 관계≡{\displaystyle\equiv}

에는 대수적 구조를 만족하는 μ(1,2,…,n)≡μ(1′,2′,…,n’){\displaystyle\mu\left(a_{1}{\text{,}}a_{2}{\text{,}}\ldots{}{\text{,}}a_{n}\right)\equiv\mu\left(a_{1}'{\text{,}}a_{2}'{\text{,}}\ldots{}{\text{,}}a_{n}’\right)}