Closed surface intuition [closed]
Hvis du hadde et sfærisk stykke papir, ville et punkt på papiret være omgitt av papir på to dimensjoner. Du kan kutte ut en liten sirkel med det punktet i midten. Hvis du hadde et vanlig ark, ville det meste av papiret være slik, men det ville være en grense der punktene bare har papir på den ene siden, og du kunne bare kutte ut en halvcirkel. Det er hva “grense” betyr når det gjelder overflater.
Dessverre er definisjonen du viser, ufullstendig. En lukket overflate må også være kompakt. Min favorittdefinisjon ville være veldig vanskelig å forklare, men hvis du ikke bruker en veldig merkelig måte å måle avstand på, vil en enklere være nok. Det må være lukket og avgrenset (ingen forhold til “lukket” og “grense” jeg allerede nevnte). “Lukket” her betyr at ethvert punkt som ikke er på papiret, er helt omgitt av punkter som ikke er på papiret, så du kan ikke bare ha et vanlig ark der bare kanten mangler, slik at den teknisk sett ikke har noen grense. “Bounded” betyr at det ikke går for alltid i noen retning, så et fly ville ikke telle.
Rediger:
jeg tror det er nok bra å forklare hvorfor kompakt er en ting. Hvis du ser på et åpent intervall fra null til en, er det begrenset. Det varer ikke evig. Men du kan ta en kontinuerlig funksjon av det (som bevarer alle slags strukturer matematikere elsker) og få noe som fortsetter for alltid. For eksempel er $f (x) = 1 / x$ kontinuerlig i dette intervallet, og tilordner det til det åpne intervallet $(1, \ infty)$. Hvis du bruker et lukket intervall, kan du ikke gjøre det. Enhver kontinuerlig funksjon på $$ vil kartlegge den til et begrenset sett. Du kan si $1/0 = \infty$, og topologer gjør det ofte, men legger til en uendelighet som det knuser rundt med strukturen av den virkelige linjen så mye at du gjør mindre $ $ uendelig enn du gjør den virkelige linjen endelig.
Kompakt betyr at du har å gjøre med et sett der det er begrenset, er iboende i strukturen på en måte som ikke kan endres av noe så enkelt som en kontinuerlig funksjon.
en lukket overflate er en som ikke fortsetter for alltid, men har heller ikke kanter. Det bare looper rundt på seg selv som en sfære.
