Fullfør kuben!!! (Side 1) / Formler / Matematikk Er Morsomt Forum

Hei anonimnystefy;

jeg har kopiert tekstfilen du har bedt om. Inkonsekvent bracketing og en savnet brakett gjør denne mistenkte. Jeg har prøvd å rydde opp, men jeg kunne bare gjette hvor den manglende braketten skulle gå.

En annen metode for å løse en kubisk polynomligning sendt uavhengig av Paul A. Torres og Robert A. Warren. Den er basert på ideen om å “fullføre kuben,” ved å arrangere saker slik at tre av de fire begrepene er tre av de fire begrepene i en perfekt kube.
Start med kubisk ligning

Hvis

så er de tre første termene de tre første termene i en perfekt kube, nemlig

så kan du “fullføre kuben” ved å trekke c fra begge sider og legge til kubens manglende term

til begge sider. Minner om at

du får:

ved å ta kuben rot på venstre side og de tre kuben røtter på høyre side, får du:

dette er røttene av kubikk ligningen som ble søkt.

hvis

fortsett deretter som følger. Sett x = y + z, hvor y er en ubestemt og z er en funksjon av a, b og c, som vil bli funnet nedenfor. Deretter:

hvor

de tre første betingelsene i denne ligningen i y vil være de av en perfekt kube iff

som skjer iff

som ikke kan skje i dette tilfellet, så vi har tilsynelatende ikke fått noe. Imidlertid vil de tre siste betingelsene i denne ligningen i y være de av en perfekt kube iff

det er iff

hvor

Siden

deretter

og vi har en sann kvadratisk ligning, kalt resolvent kvadratisk. Nå velger vi z for å være en rot av denne kvadratiske ligningen.

Hvis

så er enhver rot AV GCD også en rot av den opprinnelige kubiske ligningen i x. Når du har minst en rot, blir problemet med å finne de andre røttene redusert for å løse en kvadratisk eller lineær ligning.

Hvis

så kan ingen verdi av z gjøre f = 0, så vi kan anta at f er ikke-null. Enten rot z av kvadratisk vil gjøre, men vi må velge en av dem. Vi velger vilkårlig den med et plustegn foran radikalet:

Sett z lik denne verdien i ligningen for y, og del den med f på begge sider. Da er de tre siste betingelsene i kubikken i y de av en perfekt kube, nemlig:

slik at vi kan fullføre kuben for å løse den. Vi gjør dette ved å trekke

fra begge sider, og deretter legge til den manglende termen av kubikken,

til begge sider, og oppnå

nå har du verdiene til y. Legg z til hver for å få verdiene til x:

Dette er røttene til den kubiske ligningen som ble søkt.

Eksempel:

Vi har a = 6, b = 9, c = 6.

Deretter

den resolvente kvadratiske er

kubikken i y er

da er en rot

etter mye forenkling får du

og to andre røtter som han ikke gir. Jeg sjekket den han har gitt, og det er riktig.