Hvordan kan jeg få løsningen av komplisert ligning?

Innledning

Oppdater 6/2014

Opprinnelig fant Jeg tre løsninger; nå er det seks. Jeg trodde jeg visste at det var tre fordi rasjonalisering av ligningen resulterer i et polynom av grad 24 og NSolve finner 24 røtter og eliminerer deretter røtter som ikke var nuller av den opprinnelige ligningen. Det viser seg at ligningen var plagsom ut fra tallets synspunkt, og jeg savnet tre.

Andre modifikasjoner:

• det virker mer naturlig å bruke Rationalize for å konvertere koeffisientene til eksakte tall i dette tilfellet enn SetPrecision.

• På samme måte erstattet jeg First @ eq med Subtract @@ eq.

Rasjonalisere ligningen

man bør huske på at i henhold til dokumentasjonen på NSolve

NSolve omhandler primært med lineære og polynomiske ligninger.

ops ligning er en algebraisk ligning som kan omdannes til en polynomligning, som NSolve kan da løse lett. Siden NSolve ikke gjør dette alene, må vi rasjonalisere ” for hånd.”Rasjonalisering har en tendens til å introdusere fremmede løsninger, så vi må sjekke svarene returnert av NSolve. De noe ekle koeffisientene til eq gjør det vanskeligere, siden i rasjonalisering eq fører avrundingsfeil til at noen av kvadratrotene ikke avbryter som de burde. Vi kan fikse det ved å sette presisjonen til eq til Infinity.

vi kan finne kvadratrotene i et uttrykk expr med

DeleteDuplicates @ Cases, Infinity]

For hver kvadratrot kan vi multiplisere expr med uttrykket med kvadratroten erstattet av sin negative og forenkle.

nedenfor er resultatet av å bruke metoden til funksjonen oppnådd ved å erstatte Equal i eq med Subtract med Apply (@@). Vi kan løse ligningen nøyaktig.

eqExact = Rationalize;rationalized = Simplify @ Fold &, eqExact, DeleteDuplicates@Cases, Infinity]];rootsRatExact = Solve;rootsRat = NSolve(* 24 roots {{ζ -> -24559.6 + 24559.6 I}, <<22>>, {ζ -> 24559.6 - 24559.7 I}}*)

det er noen signifikante forskjeller mellom de to løsningene:

(ζ /. rootsRat) - (ζ /. rootsRatExact) // Abs // Max(* 3.15226*10^-10*)

Velger røttene til den oppgitte ligningen

Update: Her er hvor jeg savnet noen nuller.

jeg brukte Pick for å velge røtter der den opprinnelige ligningen eqhar en liten verdi, mindre enn en liten terskel, si 10^-1. Vi kan sjekke senere at hver er en rot, men jeg sjekket ikke for andre røtter. De opprinnelige røttene var:

rootsEq = Pick < 10^-1 /. rootsRat](* {{ζ -> -3.78042 - 5.50655 I}, {ζ -> -3.20562 + 5.39914 I}, {ζ -> 6.98478 + 0.493405 I}}*)

disse tilsvarer røttene 7, 9 og 20 i rootsRat:

Position < 10^-1 &)](* {{7}, {9}, {20}}*)

hvis jeg sjekker den nøyaktige ligningen for nuller med PossibleZeroQ, får jeg flere røtter:

Position(* {{1}, {7}, {9}, {14}, {20}, {21}}*)

tar evig på disse potensielle røttene, eller i det minste lenger enn jeg var villig til å vente.]

Interessant er disse ekstra røttene knyttet til forskjellene mellom resultatene returnert av NSolve og Solve:

Position, _?Positive](* {{1}, {2}, {3}, {14}, {21}, {22}, {23}, {24}}*)

La oss la våre nye røtter være følgende, og vi kan sjekke dem nedenfor:

rootsEqNew = Pick];rootsEqNew // N(* {{ζ -> -24559.6 + 24559.6 I}, {ζ -> -3.78042 - 5.50655 I}, {ζ -> -3.20562 + 5.39914 I}, {ζ -> -0.0832786 - 722.827 I}, {ζ -> 6.98478 + 0.493405 I}, {ζ -> 722.642 - 0.100823 I}}*)

Sjekker

først ser at ikke så bra ut for de nye tilleggene:

eqExact /. rootsEqNew // N(* { 0. + 9.7614*10^12 I, (* {1} *) -1.49012*10^-8 + 3.91155*10^-8 I, (* {7} *) -1.39698*10^-8 - 3.63216*10^-8 I, (* {9} *) -2. + 1536. I, (* {14} *) 1.49012*10^-8 + 1.11759*10^-8 I, (* {20} *) 0. + 1024. I} (* {21} *)*)

problemet er å evaluere ligningen med maskinpresisjon.

N(* N::meprec warning about $MaxExtraPrecision being reached *)(* {0``69.62973568978663 + 0``69.69302870899077 I, 0``90.5174054423328 + 0``90.55817837498498 I, 0``90.50250822096415 + 0``90.54414468499085 I, 0``80.1824915073549 + 0``79.76650578675965 I, 0``90.47483650216002 + 0``90.49782363232914 I, 0``80.17292602755023 + 0``79.76710897249409 I}*)

advarselen ser ikke ut til å være signifikant. Bumping opp $MaxExtraPrecision til 2000 produserer fortsatt advarsel og nuller med nøyaktighet rundt 2020 til 2040. Hvis de er nuller, vil N sannsynligvis alltid produsere advarselen, siden ikke kan ha en Precision(annet enn MachinePrecision).