Kongruensforhold

definisjonen av en kongruens avhenger av typen algebraisk struktur som vurderes. Spesielle definisjoner av kongruens kan gjøres for grupper, ringer, vektorrom, moduler, semigrupper, gitter og så videre. Det vanlige temaet er at en kongruens er en ekvivalensrelasjon på et algebraisk objekt som er kompatibelt med den algebraiske strukturen, i den forstand at operasjonene er veldefinerte på ekvivalensklassene.

for eksempel er en gruppe et algebraisk objekt som består av et sett sammen med en enkelt binær operasjon, som tilfredsstiller visse aksiomer. Hvis g {\displaystyle g}}

er en gruppe med operasjon ∗ {\displaystyle \ast }

, en kongruensrelasjon På G {\displaystyle G}

er en ekvivalensrelasjon ≡ {\displaystyle \equiv }

på elementene i g {\displaystyle g}

tilfredsstillende g 1 ≡ g 2 {\displaystyle G_{1}\equiv G_{2}\ \ \,}

og h 1 ≡ h 2 hryvnias g 1 ∗ h 1 hryvnias g 2 ∗ h 2 {\displaystyle \ \\, h_{1} \ equiv h_{2} \ impliserer g_{1}\ast h_{1} \ equiv g_{2}\ast h_{2}}

for alle g 1 {\displaystyle g_{1}}

, g2 {\displaystyle g_{2}}

, h 1 {\displaystyle h_{1}}

, h 2 ∈ G {\displaystyle H_{2} \ i G}

. For en kongruens på en gruppe er ekvivalensklassen som inneholder identitetselementet alltid en normal undergruppe, og de andre ekvivalensklassene er cosettene til denne undergruppen. Sammen er disse ekvivalensklassene elementene i en kvotientgruppe.

når en algebraisk struktur omfatter mer enn en operasjon, kreves kongruensrelasjoner for å være kompatible med hver operasjon. For eksempel har en ring både addisjon og multiplikasjon, og en kongruensrelasjon på en ring må tilfredsstille

r 1 + s 1 ≡ r 2 + s 2 og r 1 s 1 ≡ r 2 s 2 {\displaystyle r_{1} + s_{1} \ equiv r_{2} + s_{2}{\text{ and }}r_{1}s_{1}\equiv r_{2}s_ {2} {\text {and}} r_ {1} s_ {1} \ equiv r_ {2} s_{2}}

når du har 1 ≡ ha 2 og 1 ≡ ha 2 {\displaystyle ha 2 {\displaystyle ha_ {1} \ equiv ha{2} {\text {and }}s_{1} \ equiv ha{2}}

. For en kongruens på en ring er ekvivalensklassen som inneholder 0 alltid et tosidig ideal, og de to operasjonene på settet av ekvivalensklasser definerer den tilsvarende kvotientringen.

den generelle oppfatningen av kongruensforhold kan gis en formell definisjon i sammenheng med universell algebra, et felt som studerer ideer som er felles for alle algebraiske strukturer. I denne innstillingen er en kongruensrelasjon en ekvivalensrelasjon ≡ {\displaystyle \ equiv }

på en algebraisk struktur som tilfredsstiller μ ( a 1 , a 2 , … , a n) ≡ μ ( a 1 ‘, a 2 ‘, … , a n ‘ ) {\displaystyle \mu \venstre(a_{1}{\text{, }}a_{2}{\text{, }}\ldots {}{\text{, }}a_{n}\høyre)\equiv \mu \venstre(a_{1}'{\text{, }}a_{2}'{\text{, }}\ldots {}{\text{, }}a_{n}’\right)}