Konsekvent Estimator
11.2.3 Variansreduksjon
en kortfattet undersøkelse av spektralestimatene for trådmålerserien I Figur 5 og 6 avslører betydelig variasjon på tvers av frekvenser, så mye at det er vanskelig å skille den generelle strukturen i spektralestimatene uten en god del studier. Alle direkte spektrale estimatorer lider av denne iboende choppiness, som kan forklares ved å vurdere fordelingsegenskapene Til S^X (d) (f). Først, hvis f ikke er for nær 0 eller f (N), og HVIS sw (⋅) tilfredsstiller en mild regelmessighetstilstand, så ER 2s^w(d) (f)/Sw(f)=dx22; dvs.rv 2S^w(d) (f)/Sw(f) omtrent lik i fordeling til en chi-kvadrat rv med 2 frihetsgrader. Hvis tapering ikke brukes, anses f som” ikke for nær ” til 0 eller f(N) hvis 1/(n-p)Δ<f<f(N)-1/(n-p) Δ; hvis tapering brukes, må vi erstatte 1/(n-p)Δ med en større term, som gjenspeiler den økte bredden på spektralvinduets sentrale lobe (for eksempel er Termen for Hanning data taper omtrent 2/(n-p)Δ så f er “ikke for nær” hvis 2/(n-p)Δ< f< f (N) -2 / (n-p) Δ).
Siden en chi-kvadrat rv xv2 med v frihetsgrader har en varians på 2u, har vi tilnærmingen V=Sw2 (f). Dette resultatet er uavhengig Av Antall Wt, vi har: i motsetning til statistikk som utvalgsgjennomsnittet for uavhengige Og identisk distribuerte Gaussiske rvs, reduseres variansen Av S^W(d)(f) ikke til 0 ettersom utvalgsstørrelsen n-p blir større (unntatt I det uinteressante tilfellet Sw (f)=0). Dette resultatet forklarer choppiness av de direkte spektrale estimater vist I Figur 5 og 6. I statistisk terminologi er S^W(d)(f) en inkonsekvent estimator Av Sw (f).
vi skisserer nå tre tilnærminger for å oppnå en konsekvent estimator Av Sw (f). Hver tilnærming er basert på å kombinere rvs som, under egnede forutsetninger, kan betraktes som omtrent parvise ukorrelerte estimatorer AV SW (f). Kort sagt er de tre tilnærmingene til
1
glatt S^W (d) (f) over frekvenser, noe som gir det som kalles en lagvindu spektral estimator;
2
{Xt} (eller {Wt}) i en rekke segmenter (hvorav noen kan overlappe), beregne et direkte spektralestimat for hvert segment, og deretter gjennomsnittlig disse estimatene sammen, noe Som gir Welchs overlappede segmentaveraging (WOSA) spektral estimator;
3
beregn en serie direkte spektralestimater for {Wt} ved å bruke et sett med ortogonale data, og deretter gjennomsnittlig disse estimatene sammen, noe Som gir Thomsons multitaper spektral estimator.
Spektralestimatorer For Spektralestimatorer For spektralestimatorer For sw(⋅) tar formen
Hvor Wm (⋅) er et utjevningsvindu hvis utjevningsegenskaper styres av utjevningsparameteren m. I ord blir estimatoren S^W(lw)(⋅) oppnådd ved å vikle et utjevningsvindu med den direkte spektrale estimatoren S^w(d)(⋅). Et typisk utjevningsvindu har mye det samme utseendet som et spektralvindu. Det er acentral lobe med en bredde som kan justeres av utjevningsparameteren m: jo bredere denne sentrale lobe er, jo jevnere S^W (w) (⋅) vil være. Det kan også være et sett med irriterende sidelobes som forårsaker utjevning vindu lekkasje. Tilstedeværelsen av utjevning av vinduslekkasje oppdages lett ved å legge over plott Av S^W (lw) (⋅) og S^W (d) (⋅) og se etter frekvensområder hvor den tidligere ikke ser ut til å være en glatt versjon av sistnevnte.
Hvis vi har gjort bruk av en AR prewhitening filter, så kan vi postcolor S^W(lw)(⋅) for å få en estimator for Sx(⋅), nemlig
De statistiske egenskapene til E^W(lw)(.) er medgjørlig på grunn av følgende store utvalgsresultat. Hvis S^W (d) (⋅) faktisk er periodogrammet(dvs.vi ikke har avsmalnet Verdiene Av Wt), er settet av rvs S^W(d) (j/(n−p) Δ), j=1,2,…, j,, omtrent parvis ukorrelert, med hver rv som er proporsjonal med en χ22, rv(Her Er J det største heltallet slik At J/(n-p)<1/2). Hvis vi har brukt tapering til å danne sw (d) (⋅), er en lignende setning sant over et mindre sett med rvs definert på et grovere rutenett med like fordelte frekvenser-etter hvert som graden av tapering øker, reduseres antallet omtrent ukorrelerte rvs. Under forutsetningene om at sdf Sw (⋅) langsomt varierer over frekvenser (prewhitening bidrar til å gjøre dette sant) og at den sentrale delen av utjevningsvinduet er tilstrekkelig liten i forhold til variasjonene I Sw(⋅), følger Det At S^W(d)(f) i Eq. (11.15) kan tilnærmes ved en lineær kombinasjon av ukorrelerte χ 22 rvs. Et standard” ekvivalente frihetsgrader ” argument kan deretter brukes til å tilnærme fordelingen Av S^W(lw) (f). (Se Eq. (11.17) senere).
det er to praktiske måter å beregne S^W (lw) (⋅). Den første måten er å diskretisere Eq. (11.15), som gir en estimator proporsjonal med en konvolusjon av formen Σ (f-fk’) SW (d) (fk’), hvor verdiene offk ‘ er noen sett med like fordelte frekvenser. Den andre måten er å huske at “konvolusjon i ett Fourier-domene tilsvarer multiplikasjon i det andre” for å omskrive Eq. (11.15)as
hvor c^Τ.W (d), er acvs estimatoren gitt I Eq. (11.9) tilsvarende S^W (d) (.), og {wt.m} er et lagvindu (dette kan betraktes som den inverse Fourier-transformasjonen Av utjevningsvinduet Wm (⋅)). Faktisk, Fordi S^W(d)(.) er et trigonometrisk polynom, alle diskrete omveltninger av formen Σ (f-fk’) S^W (d) (fk’) kan også beregnes via Eq. (11.16) med et passende valg av wt, m verdier (for detaljer, se Avsnitt 6.7). Våre to praktiske måter å beregne S^W(l,w)(.) dermed gir ekvivalente estimatorer. Med mindre den diskrete konvolusjonen er tilstrekkelig kort, Eq. (11.16) er beregningsmessig raskere å bruke.
Statistisk teori antyder at under rimelige forutsetninger
til en god tilnærming, hvor v kalles ekvivalente frihetsgrader For S^W(lw)(f) og er gitt av v=2(n−p)Bwδ/Ch. Her er Bw et mål på båndbredden Til utjevningsvinduet Wm (⋅) a) n d kan beregnes via BW=1 / Δ∑T= – (n−p-1) n−p-1wt, m2;;På Den annen side avhenger Ch bare av taperen som brukes På Verdiene Til Wtog kan beregnes via Ch=(n-p−∑1=p + 1nht4merk at hvis vi ikke eksplisitt taper, så ht=1 / n−pog dermed Ch>1; For en typisk datatap, Forteller cauchy ulikheten oss At Ch> 1(For Eksempel Ch≈1.94 for Hanning data taper). Tilsvarende frihetsgrader for S^W(lw)(f)øker dermed ettersom vi øker utjevningsvinduets båndbredde og reduseres når vi øker graden av avsmalning. Ligning (11.17) forteller oss AT E≈SW(f) og AT V≈SW2(f)/v,slik at økende v avtar V.
tilnærmingen i Eq. (11.17) kan brukes til å konstruere et konfidensintervall FOR SW (f) på følgende måte.La nv (α)betegne α × 100% prosentpoeng av xv2distribusjonen; dvs.p=α.A100 (1-2α) % konfidensintervall For Sw(f) er omtrentlig gitt av
prosentpoengene ην (α) er tabulert i en rekke lærebøker eller kan beregnes Ved hjelp av en algoritme gitt Av best Og roberts
Konfidensintervallet (11,18) er ubeleilig ved at lengden er proporsjonal Med S^W(lw)(f). På den annen side er det tilsvarende konfidensintervallet for 10.log10(Sw (f)) (dvs. SW (f) på en decibel skala) er bare
som har en bredde som er uavhengig Av S^W (lw) (.). Dette er begrunnelsen for å plotte sdf-estimater på en decibel (eller logaritmisk) skala.
et forvirrende antall forskjellige lagvinduer har blitt diskutert i litteraturen (se ). Her gir vi bare ett eksempel, det velkjente Parzen fag-vinduet (Parzen ):
der m er tatt for å være et positivt heltall og τ=τ/m. Dette henger vinduet er lett å beregne og har sidelobes hvis konvolutt henfaller som f-4, slik at utjevning vinduet lekkasje er sjelden et problem. Til en god tilnærming er utjevningsvinduets båndbredde for Parzen lag-vinduet gitt Av Bw=1.85 / (mδ). Etter hvert som m øker, reduseres utjevningsvinduets båndbredde, og den resulterende lagvinduestimatoren blir mindre jevn i utseende. De tilhørende ekvivalente frihetsgrader er gitt omtrent ved v=3,71(n-p)/(mCh). Parzen lag-vinduet for m = 32 og tilhørende utjevningsvindu er vist I Figur 7.
Fig.7. Parzen lag vindu (a) og det tilsvarende glattevinduet (b) for m = 32. Utjevningsvinduet båndbredde isBw = 0,058.
Som Et eksempel, Figur 8 (a) viser en postcolored lag vindu estimator for wire bølge måle data (solid kurve), sammen med den tilsvarende postcolored direkte spektral estimator(prikkene, disse skildre det samme estimatet som vist i Figur 6 (b)). Parzen lag-vinduet ble brukt her med en verdi på m=237 for utjevningsvinduparameteren (tilsvarende ekvivalente frihetsgrader v er 64). Denne verdien ble valgt etter litt eksperimentering og ser ut til å produsere en lagvinduestimator som fanger opp alle de viktige spektralfunksjonene som er angitt av den direkte spektrale estimatoren for frekvenser mellom 0,4 Og 4,0 Hz (merk imidlertid at denne estimatoren smører ut toppen mellom 0,0 Og 0,4 Hz ganske dårlig). Vi har også plottet en kryss hvis vertikal høyde representerer lengden på et 95% konfidensintervall for 10 ⋅ log10(SX(f)) (basert på estimatoren for postfargede lag) og hvis horisontale bredde representerer utjevningsvinduets båndbredde BW
Fig.8. Postcolored Parzen lag vindu spektral estimat-solid kurve på tomten (a) – OG WOSA spektral estimat-solid kurve på (b) – for wire bølge måle tidsserier. Parameteren for utjevningsvinduet For Parzen-lagvinduet var m = 237, noe som ga v = 64 ekvivalente frihetsgrader. Wosa spektral estimat ble dannet ved Hjelp Av En Hanning data taper på blokker med 256 datapunkter, med tilstøtende blokker overlappende med 50%. Tilsvarende frihetsgrader for dette estimatet er v = 59.
Wosa Spektral Estimatorer. La oss nå vurdere den andre vanlige tilnærmingen til variansreduksjon, nemlig Welchs overlappede segment gjennomsnitt (Welch ; Carter og referanser deri). Den grunnleggende ideen er å bryte en tidsserie i en rekke blokker (dvs., segmenter), beregne et direkte spektralestimat for hver blokk, og deretter produsere wosa spektralestimatet ved å gjennomsnitt disse spektralestimatene sammen. Generelt kan blokkene overlappe, med graden av overlapping bestemmes av graden av avsmalning – jo tyngre graden av avsmalning, desto flere blokker skal overlappes (Thomson). Således, bortsett fra i begynnelsen og slutten av tidsserien, er dataverdier som er tungt avsmalnet i en blokk, lett avsmalnet i en annen blokk, så intuitivt gjenvinner vi “informasjon” tapt på grunn av tapering i en blokk fra blokker som overlapper den. FORDI DET kan implementeres på en beregningsmessig effektiv måte (ved hjelp av den raske Fourier-transformasjonsalgoritmen) og fordi DEN kan håndtere svært lange tidsserier (eller tidsserier med en tidsvarierende spectmm), ER wosa estimeringsordningen grunnlaget for mange av de kommersielle spektrumanalysatorene på markedet.
for å definere wosa spektral estimator, la ns representere en blokkstørrelse, og la h1,…, hns være en data taper. Vi definerer Den direkte spektrale estimatoren av Sx (f) for blokken av ns sammenhengende dataverdier som starter på indeks l as
(det er ingen grunn til at vi ikke kan bruke en prewhitened serie {Wt} her i stedet For Xt, men prewhitening brukes sjelden i forbindelse med WOSA, kanskje fordi blokkoverlapping regnes som en effektiv måte å kompensere for frihetsgraden som er tapt på grunn av tapering). Wosa spektral estimator AV SX (f) er definert til å være
hvor nn er totalt antall blokker og s er en heltallskiftfaktor tilfredsstillende 0<s≤ns og s(nB-1)=n-ns (merk at blokken for j = 0 bruker dataverdier χ1,…, Xns, mens blokken for j=nB-1bruker Xn-ns+1,…(Xe).
de store utvalgsstatistikkegenskapene Til S^X (wosa) (f) ligner de av lag-vinduestimatorer. spesielt har vi tilnærmingen SOM VS^X(wosa) (f) / Sx(f)=dXv2,, hvor ekvivalente frihetsgrader v er gitt ved
(her ht=0 per definisjon for alle t> ns). Hvis vi spesialiserer oss på 50% blokkoverlapping (dvs.s=ns/2) med En Hanning data taper(en felles anbefaling i ingeniørlitteraturen), kan dette tilnærmet med den enkle formelen v≈36nb21 (19nb-1). Således, når antall blokker nB øker, øker ekvivalente frihetsgrader også, noe som gir en spektral estimator med redusert varians. Med MINDRE sx (⋅) har en relativt funksjonsløs sdf, kan vi imidlertid ikke gjøre nB vilkårlig liten uten å pådra seg alvorlig skjevhet i de enkelte direkte spektrale estimatorene, hovedsakelig på grunn av tap av oppløsning. (For detaljer om resultatene ovenfor, se Avsnitt 6.17.)
Figur 8 (b) viser EN wosa spektral estimator for trådbølgemålerdataene (den faste kurven). Denne serien har n=4096 dataverdier. Noen eksperimenter indikerte at en blokkstørrelse på ns=256 og Hanning data taper er rimelige valg for å estimere sdf mellom 0,4 Og 4,0 Hz ved HJELP AV WOSA. Med en 50% blokkoverlapping er skiftfaktoren s=ns / 2=128; totalt antall blokker er nB=1_δ (n−ns)+1=31; og v, tilsvarende frihetsgrader, er omtrent 59. De 31 individuelle direkte spektrale estimatene som ble gjennomsnitt sammen for å danne wosa-estimatet, vises som prikkene i Figur 8 (b).
Vi har også plottet et “båndbredde/konfidensintervall” som ligner På Figur 8 (a), men nå er “båndbredden” (dvs.den horisontale bredden) avstanden i frekvens mellom omtrent ukorrelerte spektrale estimater. Th er mål på båndbredde er en funksjon av blokkstørrelsen ns og data taper brukt I WOSA. For Hanning taper er båndbredden omtrent 1.94 / (nsδ). Kryssene i Figur 8(a) og 8 (b) er ganske like, noe som indikerer at de statistiske egenskapene til Det postfargede Parzen-lagvinduet og wosa-spektralestimatene er sammenlignbare: faktisk er de faktiske estimatene enige tett, MED WOSA-estimatet litt jevnere i utseende.
Multitaper Spektrale Estimatorer. En interessant altemative til enten lag vindu eller WOSA spektral estimering er Multitaper tilnærming Av Thomson . Multitaper spektral estimering kan betraktes som en måte å produsere en direkte spektral estimator med mer enn bare to ekvivalente frihetsgrader (typiske verdier er 4 til 16). Som sådan er multitaper-metoden forskjellig i ånd fra de to andre estimatorene ved at den ikke søker å produsere svært glatte spektra. En økning i frihetsgrader fra 2 til bare 10 er imidlertid nok til å krympe bredden på et 95% konfidensintervall for sdf med mer enn en størrelsesorden og dermed redusere variabiliteten i spektralestimatet til det punktet hvor det menneskelige øye lett kan oppdage den samlede strukturen. Detaljerte diskusjoner om multitaper tilnærming er gitt i Og Kapittel 7 Av . Her skisserer vi bare de viktigste ideene.
multitaper spektral estimering er basert på bruk Av et sett Med k data tapers {ht.k; t = 1,…, n}, hvor k varierer fra 0 Til K-1. Vi antar at disse tapene er orthonormale (dvs. ∑t=1nht, jht,k=1 hvis j=k og 0 hvis j≠k). Den enkleste estimatoren for multitaper er definert av
(Thomson fortaler adaptivt vekting Av s^k, X(mt)(f) i stedet for bare å gjennomsnitt dem sammen). En sammenligning av denne definisjonen For s^k, X (mt) (⋅) med Eq. (118) viser At s^k, X (mt) (⋅) faktisk bare er en direkte spektral estimator, så multitaper estimatoren er bare et gjennomsnitt av direkte spektrale estimatorer som bruker et orthonormalt sett med tapers. Under visse milde forhold oversetter ortonormaliteten til taperne til frekvensdomenet som omtrentlig uavhengighet for hver enkelt s^k, X (mt) (f); dvs. S^j. X (mt) (f). Omtrentlig uavhengighet innebærer i sin tur AT 2KS^k, X (mt) (f)/SX(f)=dx22k omtrentlig, slik at ekvivalente frihetsgrader For S^X(mt) (f) er lik to ganger antall data som er brukt.
nøkkeltricket er da å finne et sett Med k orthonormale sekvenser, som hver gjør en skikkelig jobb med tapering. En tiltalende tilnærming er å retum til konsentrasjonsproblemet som ga oss dpss taper for en fast oppløsningsbåndbredde 2W Hvis vi nå refererer til denne taper som zeroth-order dpss taper og betegner den med {h,, ()}, kan vi rekursivt konstruere de resterende K-1 “høyere rekkefølge” dpss taper {ht, k} som følger. For k=1,…, K-1, vi definerer kth-rekkefølgen dpss taper som settet med n tall {ht, k; t=1,…, n} slik at
1
{ht, k} er ortogonal til hver av k-sekvensene {ht, ()},…, {ht, (k−1)}dvs. ∑t=11ht.Jht.k = 0 for j = 0,…,k-1);
2
{ht, k} er normalisert slik at ∑t=1nht, k2=1;
3
underlagt vilkår] og 2, Spektralvinduet Hk (⋅) som svarer til {ht.k} maksimerer konsentrasjonsforholdet
i ord, underlagt begrensningen av å være ortogonal til alle lavere rekkefølge dps-er taper, er kth-ordens dps-taper “optimal” i begrenset forstand at sidelobene i spektralvinduet undertrykkes så mye som mulig som målt ved konsentrasjonsforholdet. Metoder for beregning av dps-data tapers er omtalt I Kapittel 8.
I en rekke artikler har Slepian (og referanser deri) grundig studert dps-ene. Et viktig faktum han diskuterer er at konsentrasjonsforholdet λ (n, W) reduseres strengt etter hvert som k øker på en måte som er slik at λ(n,W) er nær enhet for k<2nW Δ, hvorpå den raskt nærmer seg 0 med økende k (verdien 2nwδ kalles Noen ganger Shannon-nummeret). Siden λ (n,W) må være nær enhet for {ht, k} å være en anstendig data taper, er multitaper spektral estimering begrenset til bruk av høyst— og i praksis vanligvis mindre enn-2nwδ orthonormal dps-tapere.
et eksempel på multitaper spektral estimering er vist I Figur 9. Den venstre kolonnen med tomter viser kth-ordens dpss-data som smalner for n=4096, nW=4/Δ, og k som spenner fra 0 (toppplot) Til K-1=5 (bunnplot). De tynne horisontale linjene i hver av disse tomtene indikerer nullnivået, så mens nullordens dps er strengt positiv overalt (men ganske nær 0 nær t = 1 og t=n), antar de høyere ordens tapers både positive og negative verdier. Legg også merke til at nullordren taper tungt nedvekter verdier av tidsseriene nær t=1 og t = n, men at disse verdiene blir gitt suksessivt mer vekt av de høyere ordens tapers (en tolkning av multitapering er at høyere ordens tapers gjenvinner informasjon “tapt” når bare en enkelt data taper brukes). Den faste kurven I Figur 9 (b) viser et multitaper-spektralestimat S^X (mt) (⋅) for trådbølgemålerdataene basert på disse 6 dps-ene, mens prikkene viser de seks individuelle direkte spektrale estimatene S^K. X(mt)(⋅). Merk at antall tapere som vi har brukt er under Shannon nummer 2nwδ=8 og at v, tilsvarende frihetsgrader, er HER 2K=12. Multitaper spektral estimat er mye choppier i utseende enn enten lag vindu spektral estimat Av Figur 8 (a) eller wosa estimat Av Figur 8 (b), som begge har et markert høyere antall ekvivalente frihetsgrader (v=64 og v=59, henholdsvis). Ikke desto mindre er variabiliteten i multitaper-spektralestimatet liten nok til at øyet lett kan oppdage den generelle strukturen (jfr. S^X(mt)(⋅) med de to spektrale estimatene i Figur 5), og fordi det ikke er sterkt glatt, gjør multitaper-estimatet markant bedre til å fange spektralstrukturen nær f=0.
Fig.9. Multitaper spektral estimering
Basert på ytelsesgrenser, Hevder Bronez [16 at multitaper spektral estimator har statistiske egenskaper som er bedre ENN WOSA for sdfer med svært høye dynamiske områder (mer forskning er imidlertid nødvendig for å verifisere at disse grensene oversetter til en faktisk fordel i praksis). I forhold til prewhitening er multitapering nyttig i situasjoner der lekkasje er en concem, men det er ikke praktisk å nøye designe prewhitening filtre (dette skjer for eksempel i leting geofysikk på grunn av det enorme volumet av tidsserier rutinemessig samlet). Endelig, vi oppmerksom på At Thomson og Chave [17 beskrive en tiltalende ordning der multitapering brukes i forbindelse MED WOSA.
