Betekenis van complexe exponentieel voor elektrotechniek
tenslotte wil ik de Betekenis van complexe exponentieel alleen in termen van elektrotechniek demonstreren. Ik deed de inspanningen om leesbaar en eenvoudig te schrijven, maar het kan niet genoeg zijn voor u.
Conversieeigenschap tussen optelling en vermenigvuldiging
een van de belangrijke eigenschappen van exponentieel is het converteren tussen optelling en vermenigvuldiging. In deze post gaan we ons richten op dit pand.
we zullen het hebben over conversie-eigenschap van exponentieel zowel in reële getallenlijn als in complex vlak.
(1) regel met reëel getal
reëel getal is aftelbaar getal in reële wereld. Reële getallen liggen op de x-as van de 1-dimensie. Ze hebben alleen Grootte. Met andere woorden, we kunnen alle reële getallen in kaart brengen op een getallenlijn.
hoe optellen en vermenigvuldigen over getallenlijn verklaren? Zet ‘ x ‘ op de getallenlijn en stel je voor wat je moet doen om ‘x’ toe te voegen aan ‘1’. Laat het punt van x met rust en schuif gewoon de as. We kunnen de as één punt naar links verschuiven en dan wordt de positie van x ‘x+1’. Aangezien we optellen niet beschouwen als de operator twee input nodig heeft, maar als het systeem dat kan worden gedefinieerd als “+1”, is systematische en geometrische interpretatie mogelijk in getallenlijn. Daarom betekent optellen langs getallenlijn schuiven van de as. Als je wilt toevoegen schuif dan de as naar de linkerkant zo veel als de grootte van het aantal vermenigvuldigen en als je wilt aftrekken schuif dan de as naar de rechterkant.
evenzo hoe de vermenigvuldiging over de getallenlijn te verklaren? Stel je de vermenigvuldiging ‘x’ voor met ‘a’. We kunnen het punt van ‘x’ verplaatsen naar het punt van ‘ax’ terwijl we ‘x’ alleen laten door de as ‘a’ keer uit te rekken. “x 2” betekent de vermindering van de as 2 keer en “x 0,5” betekent de uitbreiding van de as 2 keer. Raadpleeg de volgende video Voor het begrijpen van wat ik bedoel. Het verklaart het mechanisme van optellen en vermenigvuldigen met behulp van de as goed.
(2) conversie-eigenschap in echte nummerlijn.
met de volgende eigenschap van exponentieel kunnen we de exponentiële functie gebruiken om te converteren tussen optellen en vermenigvuldigen. De volgende afbeelding toont het mechanisme van de conversie. Je kunt zien dat de vergelijking tot ongeveer optellen wordt getransformeerd naar de vergelijking tot ongeveer vermenigvuldiging in exponentiële vorm. Dus optellen is gelijk aan de vermenigvuldiging over exponentieel van x. Merk op dat je exponentiële vorm moet gebruiken als een systeem of een functie.
wat betekent het? Vergeet niet optellen wordt blootgesteld aan glijden of verschuiven van de as (reële nummerlijn) en vermenigvuldiging wordt blootgesteld aan het rekken van de as. Kortom, schuiven van de as is gelijk aan het strekken van de as over exponentiële vorm. Natuurlijk, elke andere exponentiële functie die de andere basis heeft is OK. Beide zijn verschillend alleen in hoeveel is de as uitgerekt.
(3) Complex vlak
in tegenstelling tot de reële getallenlijn bestaat complex uit 2 assen. De ene is een reële getallenlijn en de andere is een denkbeeldige getallenlijn. Omdat ze op 2 dimensionaal vlak liggen, hebben complexe getallen magnitude en fase. Denk aan de poolcoördinaat.
Wat is het verschil tussen de reële getallenlijn en het complexe vlak? Er zijn slechts twee manieren van werken in echte nummerlijn, glijden en strekken. Maar we kunnen draaien in een complex vlak. Rotatie betekent wijzigen van de fase van complex getal houden van de grootte van het. Stel je het draaimechanisme voor. Dus moeten we het vlak uitrekken en het vlak roteren om complex getal te vermenigvuldigen tot complex getal omdat vermenigvuldiging zowel de magnitude als de fase zou veranderen. Met andere woorden, vermenigvuldiging in complex vlak wordt weergegeven de combinatie stretching en rotatie.
bijvoorbeeld, imaginair getal i betekent 90 graden rotatie in complex vlak. En vierkant van i betekent 180 graden rotatie. In feite onthult imaginair getal niet in de echte wereld. De reden is dat we leven in slechts reële as (1 D nummer systeem).
identiteit van Euler
gebaseerd op de vorige kennis, laten we ons richten op exponentiële functie in complex vlak. Exponential heeft dezelfde functionaliteit in zowel 1 D en 2 D. zoals je weet, betekent het de conversie tussen optellen en vermenigvuldigen. Het is dus heel duidelijk dat complexe exponentiële verandering het mechanisme van het glijden van het vlak naar het mechanisme van het rekken en draaien van het vlak.
het punt is de afstand tussen twee punten is hetzelfde.
daarom betekent de identiteit van Euler dat de toevoeging aan i * pi gelijk is aan vermenigvuldiging met de exponentiële vorm ervan. Bovendien is vermenigvuldiging met exp (I * pi) de 180 graden rotatie in eenheidscirkel. De volgende vergelijking is de identiteit van Euler.
Eulers vergelijking
de vergelijking van Euler is slechts de uitbreiding van de identiteit van Euler voor een anonieme variabele.
door het omgaan met complexe getallen, kunnen we de grootte en de fase van getallen gebruiken. En exp (I * pi) betekent de 180 graden rotatie langs de eenheidscirkel. Dan concluderen we dat exp (i*x) de rotatie langs de eenheidscirkel door deductie betekent.
Complex exponentieel (exp (i * x)) is de roterende functie van fase x. zie de volgende afbeelding. Rotatie tijdens het tijdsinterval projecteer de cosinus – en sinusschaduw in real-time vlak en imaginair tijdvlak. Het ontwikkelt cosinus functie in reële as.(Het ontwikkelt ook sinusfunctie in imaginaire as. In de reële wereld is cosinus slechts periodieke functie, hoe complex exponentieel in complex vlak ook de rotatie impliceert.
ten slotte is het probleem eenvoudig wanneer de cosinusfunctie wordt gewijzigd in complexe exponentiële functie of in een complex vlak. “Verander het probleem en los gewoon het cirkelprobleem op.”
