betrouwbaarheidsinterval voor variantie
wanneer we een steekproef gebruiken om een statistiek te berekenen, schatten we een populatieparameter. Het is slechts een schatting en de steekproef als gevolg van de aard van het trekken van een steekproef mag geen waarde (statistiek) die dicht bij de werkelijke waarde (parameter).
we kunnen het betrouwbaarheidsinterval van de statistiek berekenen om te bepalen waar de echte en vaak onbekende parameter kan bestaan. Dit omvat de berekening van een variantiestatistiek.
indien u uit een populatie veel verschillende monsters met dezelfde grootte zou nemen en de variantiestatistiek zou plotten, zou de resulterende verdeling waarschijnlijk passen bij een χ2-verdeling. Het plotten van de middelen creëert een normale verdeling die symmetrisch is en symmetrische betrouwbaarheidsintervallen oplevert. De verdeling χ2 is niet symmetrisch en zal asymmetrische intervallen veroorzaken.
De Formule
Het betrouwbaarheidsinterval formule is
$$ \large\displaystyle \frac{\left( n-1 \right){{s}^{2}}}{\chi _{\frac{\alpha }{2},\text{ }n-1}^{2}}\le {{\sigma }^{2}}\le \frac{\left( n-1 \right){{s}^{2}}}{\chi _{1-\frac{\alpha }{2},\text{ }n-1}^{2}}$$
Waar s2 is de steekproefvariantie en n de grootte van de steekproef. De vrijheidsgraden zijn n-1. Opmerking: u moet de tabel χ2 tweemaal één keer invoeren voor elke zijde van het interval.
voorbeeld
stel dat we 25 monsters hebben en hebben berekend dat de variantie van het monster 47 is. Wat is het 90% betrouwbaarheidsinterval over de variantie? Met andere woorden binnen welk bereik is de werkelijke populatievariantie waarschijnlijk?
de vrijheidsgraden zijn df = 25-1 = 24. Zo blijkt uit de tabel χ2 dat de onderste χ2-waarde 36,42 is en de bovenste 13,85. Met behulp van de bovenstaande formule kunnen we dan het betrouwbaarheidsinterval berekenen.
$$ \ large \displaystyle \ begin{array}{l} \ frac {\left (25-1 \right)47} {\chi _{\frac {0.1}{2},\text{ 25}-1}^{2}}\le {{\sigma} ^{2}}\Le \ frac {\left (25-1 \right)47} {\chi _{1 – \ frac{0.1}{2},\tekst{ 25}-1}^{2}}\\\frac{\left( 24 \right)47}{\chi _{0.05,\tekst{ 24}}^{2}}\le {{\sigma }^{2}}\le \frac{\left( 24 \right)47}{\chi _{0.95,\tekst{ 24}}^{2}}\\\frac{\left( 24 \right)47}{36.42}\le {{\sigma }^{2}}\le \frac{\left( 24 \right)47}{13.85}\\30.97\le {{\sigma }^{2}}\le 81.44\end{array}$$
zorg ervoor dat u gebruik maken van de steekproefvariantie direct. Soms kunt u de standaarddeviatie van het monster krijgen-in dit geval moet u die waarde kwadrateren en de variantie van het monster in de bovenstaande formule gebruiken.
gerelateerd:
betrouwbaarheidsintervallen voor MTBF (artikel)
Tolerantieintervallen voor normale distributie gebaseerde reeks gegevens (artikel)
punt-en Intervalschattingen (artikel)
