Closed surface intuition [closed]
als je een bolvormig stuk papier hebt, zou elk punt op het papier omgeven zijn door papier op twee dimensies. Je kunt een kleine cirkel uitsnijden met dat punt in het midden. Als je een normaal vel papier had, zou het meeste papier zo zijn, maar er zou een grens zijn waar de punten alleen papier aan één kant hebben en je alleen een halve cirkel kon uitsnijden. Dat is wat “grens” betekent bij het omgaan met oppervlakken.
helaas is de definitie die u toont onvolledig. Een gesloten oppervlak moet ook compact zijn. Mijn favoriete definitie zou heel moeilijk uit te leggen zijn, maar als je geen echt rare manier gebruikt om afstand te meten, is een eenvoudigere voldoende. Het moet gesloten en begrensd zijn (geen relatie met de “gesloten” en “grens” die ik al heb genoemd). “Gesloten” betekent hier dat elk punt dat niet op het papier is volledig omgeven door punten die niet op het papier, dus je kunt niet gewoon een normaal vel papier waar alleen de rand ontbreekt, zodat het technisch geen grens. “Begrensd” betekent dat het niet eeuwig doorgaat in welke richting dan ook, dus een vliegtuig zou niet tellen.
Edit:
ik denk dat het waarschijnlijk goed is om uit te leggen waarom compact een ding is. Als je kijkt naar een open interval van nul tot één, is het Begrensd. Het gaat niet eeuwig door. Maar je kunt er een continue functie van nemen (die alle soorten structuren bewaart waar wiskundigen van houden) en iets krijgen dat Voor altijd doorgaat. Bijvoorbeeld, $f(x) = 1/x$ is continu op dat interval, en geeft het aan het open interval $(1,\infty)$. Als je een gesloten interval gebruikt, kun je dat niet doen. Elke continue functie van $$ zal het toewijzen aan een begrensde set. Je zou kunnen zeggen $1/0 = \ infty$, en topologen doen dat vaak, maar het toevoegen van zo ‘ n oneindigheid rommelt zoveel met de structuur van de reële lijn dat je minder $$ oneindig maakt dan je de reële lijn eindig maakt.
Compact betekent dat je te maken hebt met een verzameling waarin eindig zijn inherent is aan de structuur op een manier die niet kan worden veranderd door iets simpels als een continue functie.
een gesloten oppervlak is een oppervlak dat niet eeuwig doorgaat, maar ook geen randen heeft. Het loopt gewoon rond op zichzelf als een bol.
