Congruentieverhouding

de definitie van een Congruentie hangt af van het type algebraïsche structuur in kwestie. Specifieke definities van congruentie kunnen worden gemaakt voor groepen, ringen, vectorruimten, modules, halve groepen, roosters, enzovoort. Het gemeenschappelijke thema is dat een Congruentie een equivalentierelatie is op een algebraïsch object dat compatibel is met de algebraïsche structuur, in de zin dat de operaties goed gedefinieerd zijn op de equivalentieklassen.

een groep is bijvoorbeeld een algebraïsch object dat bestaat uit een verzameling samen met een enkele binaire bewerking, die aan bepaalde axioma ‘ s voldoet. Als G {\displaystyle G}

is een groep met een bewerking ∗ {\displaystyle \ast }

, een congruentie relatie op G {\displaystyle G}

is een equivalentie relatie ≡ {\displaystyle \equiv }

op de elementen van G {\displaystyle G}

bevredigend g 1 ≡ g 2 {\displaystyle g_{1}\equiv g_{2}\ \ \,}

en h 1 ≡ h 2 ⟹ g 1 × h 1 ≡ g 2 × h 2 {\displaystyle \ \ \,h_{1}\equiv h_{2}\impliceert g_{1}\ast h_{1}\equiv g_{2}\ast h_{2}}

voor alle g 1 {\displaystyle g_{1}}

, g 2 {\displaystyle g_{2}}

, h 1 {\displaystyle h_{1}}

, h 2 ∈ G {\displaystyle h_{2}\in G}

. Voor een Congruentie op een groep is de equivalentieklasse die het identiteitselement bevat altijd een normale subgroep, en de andere equivalentieklassen zijn de cosets van deze subgroep. Samen zijn deze equivalentieklassen de elementen van een quotiëntgroep.

wanneer een algebraïsche structuur meer dan één operatie omvat, moeten congruentierelaties compatibel zijn met elke operatie. Bijvoorbeeld, een ring bezit zowel optellen en vermenigvuldigen, en een congruentie relatie op een ring moet voldoen aan

r 1 + s-1 ≡ r 2 + s 2 en r-1 s-1 ≡ r 2 s 2 {\displaystyle r_{1}+s_{1}\equiv r_{2}+s_{2}{\text{ en }}r_{1}s_{1}\equiv r_{2}s_{2}}

wanneer u r 1 ≡ r 2 s-1 ≡ z 2 {\displaystyle r_{1}\equiv r_{2}{\text{ en }}s_{1}\equiv s_{2}}

. Voor een Congruentie aan een ring is de equivalentieklasse die 0 bevat altijd een tweezijdig ideaal, en de twee operaties op de set van equivalentieklassen bepalen de overeenkomstige quotiëntring.

de Algemene notie van een congruentierelatie kan een formele definitie krijgen in de context van de universele algebra, een veld dat ideeën bestudeert die alle algebraïsche structuren gemeen hebben. In deze instelling, een congruentie relatie is een equivalentie relatie ≡ {\displaystyle \equiv }

op een algebraïsche structuur die voldoet aan μ ( a 1 , a 2 , … , n ) ≡ μ ( 1 ‘, 2 ‘, … , a n ‘ ) {\displaystyle \mu \left(a_{1}{\text{, }}a_{2}{\text{, }}\ldots {}{\text{, }}a_{n}\right)\equiv \mu \left(a_{1}'{\text{, }}a_{2}'{\text{, }}\ldots {}{\text{, }}a_{n}’\right)}