Conjugaatvariabelen

er zijn vele typen conjugaatvariabelen, afhankelijk van het soort werk dat een bepaald systeem doet (of ondergaat). Voorbeelden van canonisch geconjugeerde variabelen zijn de volgende:

• tijd en frequentie: hoe langer een muzieknoot wordt volgehouden, hoe nauwkeuriger we de frequentie kennen, maar het duurt langer en is dus een meer gedistribueerde gebeurtenis of ‘instant’ in de tijd. Omgekeerd, een zeer korte muzieknoot wordt slechts een klik, en is dus meer temporeel-gelokaliseerd, maar men kan de frequentie niet zeer nauwkeurig bepalen.
• Doppler en bereik: hoe meer we weten over hoe ver weg een radardoel is, hoe minder we weten over de exacte snelheid van benadering of terugtocht, en vice versa. In dit geval is de tweedimensionale functie van doppler en bereik bekend als een radar ambiguïteit functie of radar ambiguïteit diagram.
• oppervlakte-energie: γ dA (γ = oppervlaktespanning; A = oppervlakte).
• elastisch rekken: f dL (F = elastische kracht; L lengte uitgerekt).

derivaten van actiedit

in de klassieke fysica zijn de derivaten van actie geconjugeerde variabelen aan de hoeveelheid waarmee men differentieert. In de kwantummechanica zijn dezelfde paren van variabelen gerelateerd door het Heisenberg onzekerheid Principe.

• de energie van een deeltje bij een bepaalde gebeurtenis is de negatief van de afgeleide van de actie langs een traject van dat deeltje dat eindigt bij die gebeurtenis ten opzichte van het tijdstip van de gebeurtenis.
• Het lineaire momentum van een deeltje is de afgeleide van zijn werking ten opzichte van zijn positie.
• het impulsmoment van een deeltje is de afgeleide van zijn werking ten opzichte van zijn oriëntatie (hoekpositie).
• het massa-moment (N = t p − E r {\displaystyle \ mathbf {N} =t\mathbf {p} – E \ mathbf {r} }
  

  ) van een deeltje is de negatieve van de afgeleide van zijn actie met betrekking tot zijn snelheid.

• het elektrisch potentiaal (φ, spanning) bij een gebeurtenis is het negatief van de afgeleide van de werking van het elektromagnetisch veld ten opzichte van de dichtheid van de (vrije) elektrische lading bij die gebeurtenis.
• het magnetische potentiaal (A) bij een gebeurtenis is de afgeleide van de werking van het elektromagnetisch veld ten opzichte van de dichtheid van de (vrije) elektrische stroom bij die gebeurtenis.
• het elektrische veld (E) bij een gebeurtenis is de afgeleide van de werking van het elektromagnetische veld ten opzichte van de elektrische polarisatiedichtheid bij die gebeurtenis.
• de magnetische inductie (B) bij een gebeurtenis is de afgeleide van de werking van het elektromagnetisch veld ten opzichte van de magnetisatie bij die gebeurtenis.
• het Newtoniaanse zwaartekrachtpotentiaal bij een gebeurtenis is het negatief van de afgeleide van de werking van het Newtoniaanse zwaartekrachtveld ten opzichte van de massadichtheid bij die gebeurtenis.

Kwantumtheoreedit

in de kwantummechanica worden geconjugeerde variabelen gerealiseerd als paren van observables waarvan de operatoren niet pendelen. In conventionele terminologie, ze worden gezegd dat ze incompatibele observables zijn. Denk bijvoorbeeld aan de meetbare grootheden gegeven door positie(x ) {\displaystyle \left (x\right))}

en momentum(p ) {\displaystyle \left (p\right))}

. In de quantum-mechanische formalisme, de twee het beperken van de zichtbaarheid x {\displaystyle x}

en p {\displaystyle p}

komen overeen met de operatoren x ^ {\displaystyle {\widetilde {x}}}

en p ^ {\displaystyle {\widetilde {p\,}}}

, die noodzakelijkerwijs voldoen aan de canonieke commutatie relatie: = x ^ p ^ − p ^ x ^ = ik ℏ {\displaystyle ={\widetilde {x}}{\widetilde {p\,}}-{\widetilde {p\,}}{\widetilde {x}}=i\hbar }

Voor elke niet-nul commutator van twee exploitanten, er bestaat een “onzekerheidsprincipe”, die in onze huidige voorbeeld kan worden uitgedrukt in de vorm:

∆ x ∆ p ≥ ℏ / 2 {\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2}

In de slecht gedefinieerde notatie, Δ x {\displaystyle \Delta x}

en Δ p {\displaystyle \Delta p}

aanduiding van “onzekerheid” in de gelijktijdige specificatie van x {\displaystyle x}

en p {\displaystyle p}

. Een preciezere en statistisch volledige verklaring met betrekking tot de standaardafwijking σ {\displaystyle \ sigma }

leest: σ x σ p ≥ ℏ / 2 {\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq \hbar /2}

Meer in het algemeen, voor alle twee het beperken van de zichtbaarheid van Een {\displaystyle Een}

en B {\displaystyle B}

overeenkomt met de operatoren A ^ {\displaystyle {\widetilde {A}}}

en B ^ {\displaystyle {\widetilde {B}}}

, de algemene onzekerheid beginsel is gegeven door: σ 2 σ B 2 ≥ ( 1 2 i ⟨ ⟩ ) 2 {\displaystyle {\sigma _{A}}^{2}{\sigma _{B}}^{2}\geq \left({\frac {1}{2i}}\left\langle \left en\right\rangle \right)^{2}}

stel Nu dat we waren om precies te kunnen bepalen zijn er twee operators, het toewijzen van elk een specifieke wiskundige vorm, zodanig dat het paar voldoet aan de hiervoor genoemde commutatie relatie. Het is belangrijk om te onthouden dat onze specifieke “keuze” van operatoren slechts een van de vele gelijkwaardige of isomorfe representaties van de Algemene algebraïsche structuur zou weerspiegelen die fundamenteel de kwantummechanica karakteriseert. De generalisatie wordt formeel gegeven door de Heisenberg Lie-algebra h 3 {\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}}