Het voltooien van de kubus!!! (Page 1) / Formulas / Math Is Fun Forum
Hi anonimnystefy;
ik heb het door u gevraagde tekstbestand gekopieerd. Inconsistente volgorde en een gemiste volgorde maken deze verdachte. Ik heb geprobeerd om het op te ruimen, maar ik kon alleen maar raden waar de ontbrekende beugel moet gaan.
een andere methode om een derdegraads veeltermvergelijking op te lossen, onafhankelijk ingediend door Paul A. Torres en Robert A. Warren. Het is gebaseerd op het idee van “het voltooien van de kubus”, door zaken zo te regelen dat drie van de vier termen drie van de vier termen van een perfecte kubus zijn.
begin met de derdegraads vergelijking
als
dan zijn de eerste drie termen de eerste drie termen van een perfecte kubus, namelijk
dan kunt u “de kubus voltooien” door c van beide zijden af te trekken en de ontbrekende term van de kubus
aan beide zijden toe te voegen. Eraan herinnerend dat
u krijgt:
door de kubuswortel van de linkerkant en de drie kubuswortels van de rechterkant te nemen, krijgt u:
dit zijn de wortels van de derdegraads vergelijking die werden gezocht.
indien
ga dan als volgt te werk. Set x = y + z, waar y is een onbepaald en z is een functie van a, b, en c, die hieronder zal worden gevonden. Dan:
waarbij
de eerste drie termen van deze vergelijking in y zullen zijn die van een perfecte kubus iff
wat gebeurt iff
wat in dit geval niet kan gebeuren, dus we hebben blijkbaar niets gewonnen. Echter, de laatste drie termen van deze vergelijking in y zullen die van een perfecte kubus zijn iff
dat is iff
waar
sinds
dan
en we hebben een echte kwadratische vergelijking, genaamd de resolvent kwadratische. Nu kiezen we z als wortel van deze kwadratische vergelijking.
als
dan is elke wortel van de GCD ook een wortel van de oorspronkelijke derdegraads vergelijking in x. als je tenminste één wortel hebt, wordt het probleem van het vinden van de andere wortels gereduceerd tot het oplossen van een kwadratische of lineaire vergelijking.
als
dan kan geen van beide waarden van z f = 0 maken, dus we kunnen voortaan aannemen dat f niet nul is. Ofwel wortel z van de kwadratische is goed, maar we moeten er een kiezen. We kiezen willekeurig degene met een plusteken voor de radical:
stel z gelijk aan deze waarde in de vergelijking voor y, en deel deze door f aan beide zijden. Dan zijn de laatste drie termen van de kubus in y die van een perfecte kubus, namelijk:
zodat we de kubus kunnen voltooien om het op te lossen. We doen dit door
van beide zijden af te trekken, en dan de ontbrekende term van de derdegraads,
aan beide zijden toe te voegen, zodat u
verkrijgt nu heeft u de waarden van y. Tel z op om de waarden van x te krijgen:
dit zijn de wortels van de derdegraads vergelijking die werd gezocht.
voorbeeld:
we hebben a = 6, b = 9, c = 6.
dan
de kwadratische resolvent is
de kubieke in y is
dan is één wortel
na veel vereenvoudiging krijgt u
en twee andere wortels die hij niet geeft. Ik controleerde degene die hij heeft gegeven en het is correct.
