intuiție de suprafață închisă [închis]

dacă ați avea o bucată de hârtie sferică, orice punct de pe hârtie ar fi înconjurat de hârtie pe două dimensiuni. Ai putea tăia un cerc mic cu acel punct în centru. Dacă ai avea o foaie normală de hârtie, cea mai mare parte a hârtiei ar fi așa, dar ar exista o limită în care punctele au doar hârtie pe o parte și ai putea tăia doar un semicerc. Asta înseamnă “limită” atunci când se ocupă de suprafețe.

din păcate, definiția pe care o arătați este incompletă. O suprafață închisă trebuie să fie, de asemenea, compactă. Definiția mea preferată ar fi foarte dificil de explicat, dar dacă nu folosiți un mod foarte ciudat de măsurare a distanței, unul mai simplu va fi suficient. Trebuie să fie închis și delimitat (nici o legătură cu “închis” și “limita” pe care am menționat-o deja). “Închis” aici înseamnă că orice punct care nu este pe hârtie este complet înconjurat de puncte care nu sunt pe hârtie, deci nu puteți avea doar o foaie normală de hârtie în care lipsește doar marginea, astfel încât din punct de vedere tehnic nu are limită. “Delimitat” înseamnă că nu merge la nesfârșit în nicio direcție, așa că un avion nu ar conta.

Edit:

cred că este, probabil, bun pentru a explica de ce compact este un lucru. Dacă te uiți la un interval deschis de la zero la unu, este delimitat. Nu durează la nesfârșit. Dar puteți lua o funcție continuă a acesteia (care păstrează tot felul de structuri pe care matematicienii le iubesc) și obțineți ceva care continuă pentru totdeauna. De exemplu, $f(x) = 1/x$ este continuu pe acel interval și îl mapează la intervalul deschis $(1,\infty)$. Dacă utilizați un interval închis, nu puteți face asta. Orice funcție continuă de $$ o va mapa la un set delimitat. Ai putea spune $1/0 = \ infty$, iar topologii fac frecvent asta, dar adăugând o infinitate ca asta se încurcă cu structura liniei reale atât de mult încât câștigi mai puțin $$ infinit decât faci linia reală finită.

Compact înseamnă că aveți de-a face cu un set în care a fi finit este inerent structurii într-un mod care nu poate fi schimbat de ceva la fel de simplu ca o funcție continuă.

o suprafață închisă este una care nu durează la nesfârșit, dar nu are margini. Ea doar bucle în jurul pe sine ca o sferă.