Relația de congruență

definiția unei congruențe depinde de tipul de structură algebrică luată în considerare. Definiții particulare ale congruenței pot fi făcute pentru grupuri, inele, spații vectoriale, module, semigrupuri, rețele și așa mai departe. Tema comună este că o congruență este o relație de echivalență pe un obiect algebric care este compatibil cu structura algebrică, în sensul că operațiile sunt bine definite pe clasele de echivalență.

de exemplu, un grup este un obiect algebric format dintr-un set împreună cu o singură operație binară, satisfăcând anumite axiome. Dacă g {\displaystyle G}

este un grup cu operație de la {\displaystyle \ast }

, o relație de congruență la G {\displaystyle G}

este o relație de echivalență de la {\displaystyle \equiv }

despre elementele lui G {\displaystyle G}

satisfacatoare g 1 XQ2 {\displaystyle g_{1}\equiv g_{2}\ \ \,}

și h1h2h2h2h1h1h1h2h2h2h2h2h2 {\displaystyle\\\, h_{1} \ echivh_{2} \ implică g_{1} \ ast h_{1} \ echiv g_{2} \ ast h_{2}}

pentru toate g 1 {\displaystyle g_{1}}

, G2 {\displaystyle g_{2}}

, H1 {\displaystyle h_{1}}

, h 2 g {\displaystyle H_{2}\în G}

. Pentru o congruență asupra unui grup, clasa de echivalență care conține elementul de identitate este întotdeauna un subgrup normal, iar celelalte clase de echivalență sunt cosetele acestui subgrup. Împreună, aceste clase de echivalență sunt elementele unui grup de coeficienți.

când o structură algebrică include mai multe operații, relațiile de congruență trebuie să fie compatibile cu fiecare operație. De exemplu, un inel are atât adunare, cât și înmulțire, iar o relație de congruență pe un inel trebuie să satisfacă

r 1 + s 1 R2 + S2 și R1 S1 R2 2 {\displaystyle R_{1} + s_{1} \ equiv R_{2} + s_{2} {\text{ și }}R_{1}s_{1} \ equiv R_{2}{2}}

ori de câte ori r 1 R2 și s 1 R2 {\displaystyle R_{1} \ equiv R_{2} {\text{ și }}s_{1} \ equiv s_{2}}

. Pentru o congruență asupra unui inel, clasa de echivalență care conține 0 este întotdeauna un ideal față-verso, iar cele două operații de pe setul de clase de echivalență definesc inelul coeficient corespunzător.

noțiunii generale a unei relații de congruență i se poate da o definiție formală în contextul algebrei universale, un domeniu care studiază idei comune tuturor structurilor algebrice. În acest context, o relație de congruență este o relație de echivalență }

pe o structură algebrică care satisface un număr de ( a 1 , a 2 , … , A N) un număr de ( a 1 ‘, a 2 ‘, … , a n ‘ ) {\displaystyle \mu \stânga(a_{1}{\text{, }}a_ {\text {2} {\text {,}} \ldots {} {\text {,}} a_{n}\dreapta) \equiv \mu\stânga(a_ {1}'{\text {,}} a_ {2}'{\text {,}} \ldots {} {\text {,}} a_ {n}’ \ dreapta)}