Bedeutung des komplexen Exponentials für die Elektrotechnik
Nun möchte ich endlich die Bedeutung des komplexen Exponentials nur in Bezug auf die Elektrotechnik demonstrieren. Ich habe mich bemüht, leserlich und einfach zu schreiben, aber es kann nicht genug für Sie sein.
Konvertierungseigenschaft zwischen Addition und Multiplikation
Eine der wichtigsten Eigenschaften von Exponential ist die Konvertierung zwischen Addition und Multiplikation. In diesem Beitrag werden wir uns auf diese Eigenschaft konzentrieren.
Wir werden über die Eigenschaft des Exponentials sowohl in der reellen Zahlenlinie als auch in der komplexen Ebene sprechen.
(1) Reelle Zahlenzeile
Reelle Zahl ist eine zählbare Zahl in der realen Welt. Reelle Zahlen liegen auf der 1 Dimensionsachse namens x-Achse. Sie haben nur Größe. Mit anderen Worten, wir können alle reellen Zahlen einer Zahlenzeile zuordnen.
Wie erkläre ich Addition und Multiplikation über die Zahlenzeile? Setzen Sie ‘x’ in die Zahlenzeile und stellen Sie sich vor, was zu tun ist, um ‘x’ zu ‘1’ hinzuzufügen. Lassen Sie den Punkt von x in Ruhe und verschieben Sie einfach die Achse. Wir können die Achse um einen Punkt nach links verschieben und dann wird die Position von x ‘x + 1’. Da wir die Addition nicht als den Operator betrachten, der zwei Eingaben benötigt, sondern als das System, das als ‘+1’ definiert werden kann, ist eine systematische und geometrische Interpretation in der Zahlenzeile möglich. Das Hinzufügen entlang der Linie bedeutet daher, die Achse zu verschieben. Wenn Sie addieren möchten, schieben Sie die Achse bis zur Größe der Anzahl der Multiplikatoren nach links und wenn Sie subtrahieren möchten, schieben Sie die Achse nach rechts.
Ebenso wie erklärt man die Multiplikation über die Zahlenzeile? Stellen Sie sich die Multiplikation ‘x’ mit ‘a’ vor. Wir können den Punkt von ‘x’ zum Punkt von ‘ax’ verschieben, während wir ‘x’ in Ruhe lassen, indem wir die Achse ‘a’ mal strecken. ‘x 2’ bedeutet die reduktion der achse 2 mal und ‘x 0,5’ bedeutet die expansion der achse 2 mal. Bitte beachten Sie das folgende Video, um zu verstehen, was ich meine. Es erklärt den Mechanismus der Addition und Multiplikation mit der Achse gut.
(2) Konvertierungseigenschaft in reeller Zahlenzeile.
Mit der folgenden Eigenschaft von exponential können wir die Exponentialfunktion verwenden, um zwischen Addition und Multiplikation zu konvertieren. Das folgende Bild zeigt den Mechanismus der Konvertierung. Sie können sehen, dass die Gleichung zur Addition in die Gleichung zur Multiplikation in exponentieller Form umgewandelt wird. Daher ist die Addition gleich der Multiplikation über Exponential von x. Beachten Sie, dass Sie die Exponentialform als System oder Funktion verwenden sollten.
Was bedeutet das? Denken Sie daran, dass die Addition dem Verschieben oder Verschieben der Achse (reelle Zahlenlinie) und die Multiplikation dem Dehnen der Achse ausgesetzt ist. In der Summe ist das Verschieben der Achse gleich dem Strecken der Achse über die Exponentialform. Natürlich ist jede andere Exponentialfunktion, die die andere Basis hat, in Ordnung. Beide unterscheiden sich nur darin, wie stark die Achse gedehnt wird.
(3) Komplexe Ebene
Im Gegensatz zur reellen Zahlenlinie besteht der Komplex aus 2 Achsen. Eine ist die reelle Zahlenlinie und die andere ist die imaginäre Zahlenlinie. Da sie auf einer 2-dimensionalen Ebene liegen, haben komplexe Zahlen Größe und Phase. Denken Sie nur an die Polarkoordinate.
Was ist der Unterschied zwischen reeller Zahlenlinie und komplexer Ebene? Es gibt nur zwei Möglichkeiten, in der reellen Zahlenlinie zu arbeiten, Gleiten und Strecken. Aber wir können rotierenden betrieb in komplexen flugzeug. Rotation bedeutet, die Phase der komplexen Zahl unter Beibehaltung ihrer Größe zu ändern. Stellen Sie sich den Rotationsmechanismus vor. Wir müssen also die Ebene dehnen und die Ebene drehen, um die komplexe Zahl mit der komplexen Zahl zu multiplizieren, da die Multiplikation sowohl die Größe als auch die Phase ändern würde. Mit anderen Worten, Multiplikation in komplexer Ebene wird die Kombination Dehnung und Rotation angezeigt.
Zum Beispiel bedeutet die imaginäre Zahl i eine 90-Grad-Drehung in einer komplexen Ebene. Und quadrat von ich bedeutet 180 grad rotation. In der Tat zeigt imaginäre Zahl nicht in der realen Welt. Der Grund ist, dass wir nur in einer realen Achse leben (1 D-Zahlensystem).
Eulers Identität
Basierend auf den Vorkenntnissen konzentrieren wir uns auf die Exponentialfunktion in der komplexen Ebene. Exponential hat die gleiche Funktionalität in beiden 1 D ein 2 D. Wie Sie wissen, bedeutet es die Umwandlung zwischen Addition und Multiplikation. Es ist also sehr klar, dass komplexe exponentielle Veränderungen den Mechanismus des Gleitens der Ebene in den Mechanismus des Streckens und Drehens der Ebene verändern.
Der Punkt ist der Abstand zwischen zwei Punkten gleich ist.
Daher bedeutet Eulers Identität Addition zu i * pi ist gleich Multiplikation mit exponentieller Form davon. Die Multiplikation mit exp (i * pi) ist die 180-Grad-Drehung im Einheitskreis. Die folgende Gleichung ist Eulers Identität.
Euler-Gleichung
Die Euler-Gleichung ist nur die Erweiterung der Euler-Identität für anonyme Variablen.
Indem wir uns mit komplexen Zahlen befassen, können wir die Größe und Phase von Zahlen verwenden. Und exp (i * pi) bedeutet die 180-Grad-Drehung entlang des Einheitskreises. Dann schließen wir, dass exp(i*x) die Rotation entlang des Einheitskreises durch Abzug bedeutet.
Komplexes Exponential (exp (i * x)) ist die Rotationsfunktion der Phase x. Siehe das folgende Bild. Rotation während des Zeitintervalls projizieren Sie den Kosinus- und Sinusschatten in Echtzeitebene und imaginärer Zeitebene. Es entwickelt die Kosinusfunktion in der realen Achse.(Es entwickelt auch Sinusfunktion in imaginärer Achse.) In der realen Welt ist der Kosinus nur eine periodische Funktion, jedoch impliziert ein komplexes Exponential in einer komplexen Ebene die Rotation.
Schließlich ist das Problem einfach, wenn die Kosinusfunktion in eine komplexe Exponentialfunktion geändert oder in eine komplexe Ebene verschoben wird. “Ändere das Problem und löse einfach das Kreisproblem.”
