Closed surface intuition [geschlossen]

Wenn Sie ein kugelförmiges Stück Papier hätten, wäre jeder Punkt auf dem Papier zweidimensional von Papier umgeben. Sie könnten einen kleinen Kreis mit diesem Punkt in der Mitte ausschneiden. Wenn Sie ein normales Blatt Papier hätten, wäre das meiste Papier so, aber es gäbe eine Grenze, an der die Punkte nur Papier auf einer Seite haben und Sie nur einen Halbkreis ausschneiden könnten. Das bedeutet “Grenze” im Umgang mit Oberflächen.

Leider ist die angezeigte Definition unvollständig. Eine geschlossene Oberfläche muss ebenfalls kompakt sein. Meine Lieblingsdefinition wäre wirklich schwer zu erklären, aber wenn Sie keine wirklich seltsame Methode zur Entfernungsmessung verwenden, reicht eine einfachere aus. Es muss geschlossen und begrenzt sein (keine Beziehung zu den bereits erwähnten “geschlossenen” und “Grenzen”). “Geschlossen” bedeutet hier, dass jeder Punkt, der nicht auf dem Papier ist, vollständig von Punkten umgeben ist, die nicht auf dem Papier sind, so dass Sie nicht einfach ein normales Blatt Papier haben können, wo nur die Kante fehlt, so dass es technisch keine Grenze hat. “Begrenzt” bedeutet, dass es nicht ewig in irgendeine Richtung geht, also würde ein Flugzeug nicht zählen.

Edit:

Ich denke, es ist wahrscheinlich gut zu erklären, warum compact eine Sache ist. Wenn Sie ein offenes Intervall von Null bis eins betrachten, ist es begrenzt. Es dauert nicht ewig. Aber Sie können eine kontinuierliche Funktion davon nehmen (die alle Arten von Strukturen bewahrt, die Mathematiker lieben) und etwas bekommen, das für immer weitergeht. Zum Beispiel ist $ f(x) = 1 /x $ in diesem Intervall kontinuierlich und ordnet es dem offenen Intervall $ (1, \ infty) $ zu. Wenn Sie ein geschlossenes Intervall verwenden, können Sie dies nicht tun. Jede stetige Funktion von $$ ordnet sie einer begrenzten Menge zu. Man könnte sagen, $ 1/0 = \ infty $ , und Topologen tun das häufig, aber das Hinzufügen einer solchen Unendlichkeit bringt die Struktur der reellen Linie so sehr durcheinander, dass man weniger $$ unendlich macht, als man macht die reelle Linie endlich.

Kompakt bedeutet, dass Sie es mit einer Menge zu tun haben, in der die Endlichkeit der Struktur in einer Weise innewohnt, die nicht durch etwas so Einfaches wie eine stetige Funktion geändert werden kann.

Eine geschlossene Fläche ist eine, die nicht ewig andauert, aber auch keine Kanten hat. Es schlingt einfach wie eine Kugel um sich herum.