Companion Matrix

Die Begleitmatrix zu einem monischen Polynom

(1)

ist die quadratische Matrix

(2)

mit Einsen in der Unterteilung und der letzten Spalte, die durch die Koeffizienten von gegeben sind. Beachten Sie, dass in der Literatur die Begleitmatrix manchmal mit den geschalteten Zeilen und Spalten definiert wird, d. H. Der Transponierung der obigen Matrix.

Wenn die Standardbasis ist, erfüllt eine Begleitmatrix

(3)

für , sowie

(4)

einschließlich

(5)

Das Matrixminimalpolynom der Begleitmatrix ist daher , was auch sein charakteristisches Polynom ist.

Begleitmatrizen werden verwendet, um eine Matrix in rationaler kanonischer Form zu schreiben. Tatsächlich ist jede Matrix, deren Matrix-Minimalpolynom den Polynomgrad aufweist, der Begleitmatrix für ähnlich. Die rationale kanonische Form ist interessanter, wenn der Grad von kleiner als ist.

Der folgende Wolfram Language-Befehl gibt die Begleitmatrix für ein Polynom in der Variablen an.

 CompanionMatrix := Module}, w = -w/Last; n = Length - 1; SparseArray], {i_, j_} /; i == j + 1 -> 1}, {n, n}]]