Intuición de superficie cerrada [cerrada]

Si tuviera un pedazo de papel esférico, cualquier punto del papel estaría rodeado de papel en dos dimensiones. Podrías cortar un pequeño círculo con ese punto en el centro. Si tuvieras una hoja de papel normal, la mayor parte del papel sería así, pero habría un límite donde los puntos solo tienen papel en un lado y solo podrías cortar un semicírculo. Eso es lo que significa “límite” cuando se trata de superficies.

Desafortunadamente, la definición que está mostrando está incompleta. Una superficie cerrada también debe ser compacta. Mi definición favorita sería muy difícil de explicar, pero si no estás usando alguna forma realmente extraña de medir la distancia, una más simple será suficiente. Debe ser cerrado y acotado (sin relación con el “cerrado” y el “límite”que ya mencioné). “Cerrado” aquí significa que cualquier punto que no esté en el papel está completamente rodeado de puntos que no están en el papel, por lo que no puede tener una hoja de papel normal donde solo falta el borde, por lo que técnicamente no tiene límite. “Delimitado” significa que no va para siempre en ninguna dirección, por lo que un avión no contaría.

Editar:

Creo que probablemente sea bueno explicar por qué compact es una cosa. Si nos fijamos en un intervalo abierto de cero a uno, está limitado. No dura para siempre. Pero se puede tomar una función continua de ella (que preserva todos los tipos de estructuras que los matemáticos aman) y obtener algo que continúe para siempre. Por ejemplo, $f ( x) = 1/x is es continuo en ese intervalo, y lo asigna al intervalo abierto$ (1,\infty)$. Si usas un intervalo cerrado, no puedes hacer eso. Cualquier función continua de $ $ la asignará a un conjunto acotado. Se podría decir 1 1/0 = \ infty frequently, y los topólogos lo hacen con frecuencia, pero agregar un infinito como ese se entromete en la estructura de la línea real tanto que haces menos infinite infinito que haces finita la línea real.

Compacto significa que se trata de un conjunto en el que ser finito es inherente a la estructura de una manera que no se puede cambiar por algo tan simple como una función continua.

Una superficie cerrada es aquella que no dura para siempre, pero tampoco tiene bordes. Simplemente se enrolla sobre sí mismo como una esfera.