La congruencia relación

La definición de congruencia depende del tipo de estructura algebraica bajo consideración. Se pueden hacer definiciones particulares de congruencia para grupos, anillos, espacios vectoriales, módulos, semigrupos, redes, etc. El tema común es que una congruencia es una relación de equivalencia en un objeto algebraico que es compatible con la estructura algebraica, en el sentido de que las operaciones están bien definidas en las clases de equivalencia.

Por ejemplo, un grupo es un objeto algebraico que consiste en un conjunto junto con una sola operación binaria, que satisface ciertos axiomas. Si G {\displaystyle G}

es un grupo con la operación ∗ {\displaystyle \ast }

, una relación de congruencia en G {\displaystyle G}

es una relación de equivalencia ≡ {\displaystyle \equiv }

en los elementos de G {\displaystyle G}

satisfactoria g 1 ≡ g 2 {\displaystyle g_{1}\equiv g_{2}\ \ \,}

y h 1 ≡ h 2 ⟹ g 1 ∗ h 1 ≡ g 2 ∗ h 2 {\displaystyle \ \ \,h_{1}\equiv h_{2}\implica g_{1}\ast h_{1}\equiv g_{2}\ast h_{2}}

para todos los g 1 {\displaystyle g_{1}}

, g 2 {\displaystyle g_{2}}

, h 1 {\displaystyle h_{1}}

, h 2 ∈ G {\displaystyle h_{2}\in G}

. Para una congruencia en un grupo, la clase de equivalencia que contiene el elemento de identidad es siempre un subgrupo normal, y las otras clases de equivalencia son los conjuntos de este subgrupo. Juntas, estas clases de equivalencia son los elementos de un grupo de cociente.

Cuando una estructura algebraica incluye más de una operación, se requiere que las relaciones de congruencia sean compatibles con cada operación. Por ejemplo, un anillo posee tanto la adición y la multiplicación, y una relación de congruencia en un anillo, debe satisfacer

r 1 + s 1 ≡ r 2 + s 2 y r 1 s 1 ≡ r 2 s 2 {\displaystyle r_{1}+s_{1}\equiv r_{2}+s_{2}{\text{ y }}r_{1}s_{1}\equiv r_{2}s_{2}}

cuando r 1 ≡ r 2 y 1 s ≡ s 2 {\displaystyle r_{1}\equiv r_{2}{\text{ y }}s_{1}\equiv s_{2}}

. Para una congruencia en un anillo, la clase de equivalencia que contiene 0 es siempre un ideal de dos lados, y las dos operaciones en el conjunto de clases de equivalencia definen el anillo cociente correspondiente.

La noción general de una relación de congruencia se puede dar una definición formal en el contexto del álgebra universal, un campo que estudia ideas comunes a todas las estructuras algebraicas. En este contexto, una relación de congruencia es una relación de equivalencia ≡ {\displaystyle \equiv }

en una estructura algebraica que satisface μ ( a 1 , a 2 , … , a n ) ≡ µ ( 1 ‘, 2 ‘, … , a n ‘ ) {\displaystyle \mu \left(a_{1}{\text{, }}a_{2}{\text{, }}\ldots {}{\text{, }}a_{n}\derecho)\equiv \mu \left(a_{1}'{\text{, }}a_{2}'{\text{, }}\ldots {}{\text{, }}a_{n}’\derecho)}