Continuando desde la última vez, considere el número (normal, decimal)
con un número infinito de 3 después del punto decimal. Ahora, probablemente sepas que esto representa 
. ¿Pero por qué? ¿Cómo definimos lo que significa una secuencia infinita de dígitos?
La respuesta estándar es que pensamos en el número decimal infinito 
como una abreviatura para el límite de la secuencia
Es decir, la secuencia de números racionales 
, 
, y así sucesivamente, se acerca infinitamente a algún número, a saber, , que se toma como el significado de la secuencia. (Estoy agitando un poco las manos aquí; esto generalmente se hace más preciso a través de la noción de una secuencia de Cauchy. Pero la intuición es la misma.)
Ahora, en el párrafo anterior dije que los números , , se acercan infinitamente a algún número. ¿Qué queremos decir con “cerca de”? Usted puede pensar que esta es una pregunta tonta y obvia. Pero resulta que suceden cosas interesantes si damos una respuesta diferente de lo habitual.
En primer lugar, pensemos en lo que significa “cerca” en el contexto de los números reales habituales. La distancia entre dos números 
y 
se define como denota el valor absoluto habitual de un número. Podemos pensar en la función de valor absoluto como asignar un tamaño a cada número: 42 y -42 ambos tienen el mismo tamaño, es decir, 42. Así que la distancia entre dos números es el tamaño de su diferencia.
El nombre del juego ahora será definir una función de tamaño diferente, que escribiremos 
. El uso de esta función de tamaño nos dará un significado diferente de “cerca de”: dos números y estarán “cerca” el uno del otro cuando 
sea pequeño.
