Variables conjugadas

Hay muchos tipos de variables conjugadas, dependiendo del tipo de trabajo que un sistema determinado esté haciendo (o al que esté siendo sometido). Ejemplos de variables canónicamente conjugadas incluyen los siguientes:

• Tiempo y frecuencia: cuanto más tiempo se mantiene una nota musical, más precisamente conocemos su frecuencia, pero abarca una duración más larga y, por lo tanto, es un evento más distribuido o “instantáneo” en el tiempo. Por el contrario, una nota musical muy corta se convierte en solo un clic, y por lo tanto es más localizada temporalmente, pero no se puede determinar su frecuencia con mucha precisión.
• Doppler y alcance: cuanto más sepamos qué tan lejos está un objetivo de radar, menos sabremos sobre la velocidad exacta de aproximación o retirada, y viceversa. En este caso, la función bidimensional de doppler y rango se conoce como función de ambigüedad de radar o diagrama de ambigüedad de radar.
• Energía superficial: γ dA (γ = tensión superficial; A = superficie).
• Estiramiento elástico: F dL (F = fuerza elástica; longitud L estirada).

Derivadas de la accióneditar

En física clásica, las derivadas de la acción son variables conjugadas a la cantidad con respecto a la cual se está diferenciando. En mecánica cuántica, estos mismos pares de variables están relacionados por el principio de incertidumbre de Heisenberg.

• La energía de una partícula en un evento determinado es el negativo de la derivada de la acción a lo largo de una trayectoria de esa partícula que termina en ese evento con respecto al momento del evento.
• El momento lineal de una partícula es la derivada de su acción con respecto a su posición.
• El momento angular de una partícula es la derivada de su acción con respecto a su orientación (posición angular).
• La masa de momento ( N = t p − E-r {\displaystyle \mathbf {N} =t\mathbf {p} -E\ \ mathbf {r} }
  

  ) de una partícula es el negativo de la derivada de su acción con respecto a su rapidez.

• El potencial eléctrico (φ, voltaje) en un evento es el negativo de la derivada de la acción del campo electromagnético con respecto a la densidad de carga eléctrica (libre) en ese evento.
• El potencial magnético (A) en un evento es la derivada de la acción del campo electromagnético con respecto a la densidad de la corriente eléctrica (libre) en ese evento.
• El campo eléctrico (E) en un evento es la derivada de la acción del campo electromagnético con respecto a la densidad de polarización eléctrica en ese evento.
• La inducción magnética (B) en un evento es la derivada de la acción del campo electromagnético con respecto a la magnetización en ese evento.
• El potencial gravitacional newtoniano en un evento es el negativo de la derivada de la acción del campo de gravitación newtoniano con respecto a la densidad de masa en ese evento.

Teoría cuánticaeditar

En mecánica cuántica, las variables conjugadas se realizan como pares de observables cuyos operadores no viajan diariamente. En terminología convencional, se dice que son observables incompatibles. Considere, como ejemplo, las cantidades medibles dadas por position ( x ) {\displaystyle \left (x \ right)}

y momento ( p ) {\displaystyle \left (p \ right)}

. En el formalismo mecánico cuántico, los dos observables x {\displaystyle x}

y p {\displaystyle p}

corresponden a operadores x ^ {\displaystyle {\widehat {x}}}

y p ^ {\displaystyle {\widehat {p\,}}}

, que necesariamente satisfacen la relación canónica de conmutación: = x ^ p ^ − p ^ x ^ = i ℏ {\displaystyle ={\widehat {x}}{\widehat {p\,}}-{\widehat {p\,}}{\widehat {x}}=i\manejadores }

Para todos los no-cero conmutador de dos operadores, existe un “principio de incertidumbre”, que en nuestro presente ejemplo se puede expresar en la forma:

Δ Δ x p ≥ ℏ / 2 {\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq \manejadores /2}

En esta mala definición de la notación, Δ x {\displaystyle \Delta x}

y Δ p {\displaystyle \Delta p}

denotar la “incertidumbre” en la simultánea especificación de x {\displaystyle x}

y p {\displaystyle p}

. Una declaración más precisa, y estadísticamente completa, que involucra la desviación estándar σ {\displaystyle \sigma }

lee: σ x σ p ≥ ℏ / 2 {\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq \manejadores /2}

Más en general, para cualquiera de las dos características observables de Un {\displaystyle Un}

y B {\displaystyle B}

correspondiente a los operadores A ^ {\displaystyle {\widehat {Un}}}

y B ^ {\displaystyle {\widehat {B}}}

, la generalizada del principio de incertidumbre está dada por: σ A 2 σ B 2 ≥ (1 2 i⟩⟩) 2 {\displaystyle {\sigma _ {A}}^{2} {\sigma _ {B}}^{2} \ geq \ left ({\frac {1}{2i}}\left \ langle \ left \ right \ rangle \ right)^{2}}

Ahora supongamos que definimos explícitamente dos operadores particulares, asignando a cada uno una forma matemática específica, de modo que el par satisfaga la relación de conmutación mencionada anteriormente. Es importante recordar que nuestra “elección” particular de operadores simplemente reflejaría una de las muchas representaciones equivalentes, o isomorfas, de la estructura algebraica general que caracteriza fundamentalmente a la mecánica cuántica. La generalización es provisto oficialmente por la de Heisenberg Mentira álgebra h 3 {\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}}