Consistent Estimator

11.2.3 varianssi Reduction

kaavioissa 5 ja 6 olevien wire gauge-sarjan spektriestimaattien pintapuolinen tarkastelu paljastaa huomattavaa vaihtelua eri taajuuksilla niin paljon, että spektriestimaattien kokonaisrakennetta on vaikea hahmottaa ilman riittävää tutkimusmäärää. Kaikki suorat spektriestimaattorit kärsivät tästä luontaisesta pilkkoutumisesta, joka voidaan selittää ottamalla huomioon S^x(d)(f): n jakaumaominaisuudet. Ensinnäkin, jos f ei ole liian lähellä arvoa 0 tai f (n) ja jos sw (⋅) täyttää lievän säännöllisyysehdon, 2S^w(d) (f)/Sw(f)=dx22; ts.RV 2s^w(d) (f)/Sw(f) on jakaumaltaan suunnilleen yhtä suuri kuin chi-neliö rv, jolla on 2 vapausastetta. Jos kapenemista ei käytetä, f katsotaan” ei liian lähelle ” arvoa 0 tai f(N), jos 1/(n-p)Δt<F<f(N)-1/(n-p)Δt; jos käytetään kapenevaa muotoa, on korvattava 1/(n-p)Δt suuremmalla termillä, joka heijastaa spektriikkunan keskilohkon lisääntynyttä leveyttä (esimerkiksi Hanningin datakapulan termi on noin 2/(n-p)Δt, joten f ei ole “liian lähellä”, jos 2/(n-p)Δt<f<f(N)-2/(n-p)Δt).

koska chi-neliöisellä rv xv2: lla, jonka vapausaste on v, on varianssi 2U, meillä on likiarvo V=Sw2(f). Tämä tulos on riippumaton määrä Wt, olemme: toisin kuin tilastoissa, kuten riippumattoman ja identtisesti jakautuneen Gaussin rvs: n otoskeskiarvo, S^W(d)(f): n varianssi ei pienene arvoon 0, kun otoskoko n-p suurenee (paitsi epäkiinnostavassa tapauksessa Sw(f)=0). Tämä tulos selittää kuvissa 5 ja 6 esitettyjen suorien spektriarvioiden pilkkoutumisen. Tilastollisessa terminologiassa S^W (d) (f) on SW (f): n epäyhtenäinen estimaattori.

missä Wm (⋅) on tasoitusikkuna, jonka tasoitusominaisuuksia säätelee tasoitusparametri m. Sanoissa estimaattori S^W (LW) (⋅) saadaan konvolvoimalla tasoitusikkuna suoralla spektriestimaattorilla s^w (d) (⋅). Tyypillinen tasoitusikkuna muistuttaa ulkonäöltään paljolti spektriikkunaa. On keskiölohko, jonka leveyttä voidaan säätää tasoitusparametrilla m: mitä leveämpi tämä keskuslohko on, sitä sileämpi S^W(w)(⋅) on. Mukana voi olla myös harmittavia sivuluisuja, jotka aiheuttavat tasoitusikkunavuotoa. Tasoitusikkunavuoto on helppo havaita asettamalla S^W(LW)(⋅) ja S^W(D) (⋅) – käyrät päällekkäin ja etsimällä taajuusalueita, joissa edellinen ei näytä olevan siloteltu versio jälkimmäisestä.

tilastolliset ominaisuudet S^W(lw) (.) ovat jäljitettävissä seuraavan suuren otostuloksen vuoksi. Jos S^W (D) (⋅) on itse asiassa periodogrammi(eli WT: n arvoja ei ole kapennettu), joukko rvs S^W(D) (J/(n−p) Δt), j=1,2,…, j,, ovat likimain pareittain korreloimattomia, ja jokainen rv on verrannollinen χ22, RV (tässä J on suurin kokonaisluku siten, että J/(n-p)<1/2). Jos olemme käyttäneet kapenevaa muotoa SW(d)(⋅), vastaava lausuma on totta pienemmällä rvs—joukolla, joka on määritelty karkeammalla ruudukolla, jossa on tasavälein taajuuksia-kun aste kapeneva kasvaa, noin korrelaatiottomien rvs: ien määrä vähenee. Olettaen, että SDF Sw (⋅) vaihtelee hitaasti eri taajuuksilla (prewhitening auttaa tekemään tästä totta) ja että tasoitusikkunan keskilohko on riittävän pieni verrattuna SW: n (⋅) vaihteluihin, Tästä seuraa, että S^W(d) (f) Eq: ssa. (11.15) voidaan approksimoida lineaarikombinaatiolla, joka koostuu korreloimattomista χ22 RV: stä. Tällöin voidaan käyttää standardia “ekvivalentit vapausasteet” – argumentti likimääräistämään jakaumaa S^W(lw)(f). (KS. Eq. (11.17) myöhemmin).

, jossa C ^ τ.W (d), on Acvs-estimaattori Eq: na. (11.9) vastaa S^W(d) (.), ja {wt.m} on viiveikkuna (tätä voidaan pitää tasoitusikkunan käänteisenä Fourier-muunnoksena Wm (⋅)). Itse asiassa, koska S^W (d) (.) on trigonometrinen polynomi, jonka kaikki diskreetit konvolutiot muodossa ΣkWm(f−fk’)S^W(d) (fk’) voidaan laskea myös ekv. (11.16) sopivalla valinnalla wt,m-arvot (tarkemmat tiedot, ks.kohta 6.7). Meidän kaksi käytännöllistä tapaa computing S^W (l, w) (.) siten saanto ekvivalentti estimaattorit. Ellei diskreetti konvoluutio ole riittävän lyhyt, Eq. (11.16) on laskennallisesti nopeampi käyttää.

hyvään likiarvoon,jossa v: tä kutsutaan S^W(LW)(f): n ekvivalenteiksi vapausasteiksi ja V=2(n−p)bwδt/Ch. Tässä Bw on tasoitusikkunan kaistanleveyden mitta Wm (⋅) A)n d voidaan laskea kaavalla BW=1/Δt∑T=−(n−p−1)n−p−1WT,m2;;toisaalta Ch riippuu vain Wtandin arvoihin sovellettavasta kartio−osasta voidaan laskea ch=(n−p)∑1=p+1nht4viite, että jos emme eksplisiittisesti kartio, niin ht=1/n-pand siis Ch>1; tyypillisen tiedon kartio, Cauchyn epäyhtälö kertoo meille, että Ch>1(Esimerkiksi Ch≈1,94 Hanningin datan kartio). S^W(LW)(f): n vastaavat vapausasteet siis kasvavat, kun lisäämme tasoitusikkunan kaistanleveyttä ja pienenevät, kun lisäämme aste kapenevaa. Yhtälö (11.17) kertoo,että E≈SW(f) ja v≈SW2(f)/v, joten V: n lisääminen pienentää V: tä.

prosenttiyksiköt ην (α) on taulukoitu lukuisissa oppikirjoissa tai ne voidaan laskea Bestin ja Robertsin antaman algoritmin avulla

jonka leveys on riippumaton S^W(lw)(.). Tämä on peruste SDF-estimaattien piirtämiselle desibeliasteikolla (tai logaritmisella asteikolla).

missä m: n katsotaan olevan positiivinen kokonaisluku ja τ=τ/m. tämä viiveikkuna on helppo laskea ja siinä on sivuikkunat, joiden kuori hajoaa f-4: ksi, joten tasoitusikkunavuoto on harvoin ongelma. Hyvän likiarvon saamiseksi parzenin viiveikkunan tasoitusikkunan kaistanleveydeksi saadaan BW=1.85 / (mΔt). Koska m kasvaa, tasoitusikkunan kaistanleveys pienenee, ja tuloksena viive ikkunan estimaattori tulee vähemmän sileä ulkonäkö. Niihin liittyvät ekvivalentit vapausasteet saadaan suunnilleen V=3,71(n-p)/(mCh). Parzen lag-ikkuna m=32: lle ja siihen liittyvä tasoitusikkuna on esitetty kuvassa 7.

Kuva.7. Parzen lag-ikkuna (a) ja vastaava tasoitusikkuna (b), Kun m = 32. Tasoittavan ikkunan kaistanleveys onbw = 0,058.

esimerkkinä, Kuva 8 (a) näyttää postcolored lag ikkuna estimaattori wire wave mittari tiedot (kiinteä käyrä), yhdessä vastaavan postcolored suora spektri estimaattori (pisteet, nämä kuvaavat samaa estimaattia kuin kuvassa 6(b)). Tässä käytettiin parzen lag-ikkunaa, jonka tasoitusikkunan parametrin arvo on m=237 (vastaava ekvivalenttinen vapausaste v on 64). Tämä arvo valittiin joidenkin kokeiden jälkeen ja näyttää tuottavan viiveikkunan estimaattorin, joka kaappaa kaikki tärkeät spektriset ominaisuudet, jotka suora spektrinen estimaattori osoittaa taajuuksille 0,4-4,0 Hz (Huomaa kuitenkin, että tämä estimaattori sivelee piikin välillä 0,0-0,4 Hz melko huonosti). Olemme myös piirtäneet ristiin rastiin, jonka pystysuora korkeus on 95%: n luottamusvälin Pituus 10 ⋅ log10(SX(f)) (perustuu postvärilliseen lag-estimaattoriin) ja jonka vaakasuora leveys edustaa tasoitettavaa ikkunan kaistanleveyttä BW

Kuva.8. Postcolored Parzen lag window spectral estimate—solid curve on plot (A)-and WOSA spectral estimate—solid curve on (b) – For wire wave gauge time series. Parzenin viiveikkunan tasoitusikkunan parametri oli M = 237, jolloin saatiin V = 64 ekvivalenttia vapausastetta. Wosa-spektriarvio muodostettiin Hanning-datataperin avulla lohkoilla, joissa on 256 datapistettä, vierekkäisten lohkojen ollessa päällekkäisiä 50%. Tämän estimaatin vastaava vapausaste on v = 59.

Wosa-Spektriestimaattorit. Tarkastelkaamme nyt toista yhteistä lähestymistapaa varianssin vähentämiseen, nimittäin Welchin päällekkäistä segmentin keskiarvoistamista (Welch ; Carter ja viittaukset siihen). Perusidea on rikkoa aikasarja useisiin lohkoihin (ts., segmentit), lasketaan suora spektriarvio kullekin lohkolle ja tuotetaan sitten wosan spektriarvio laskemalla nämä spektriarviot yhteen. Yleensä lohkojen annetaan limittyä, jolloin päällekkäisyysaste määräytyy kapenevan asteen mukaan—mitä raskaampi kapeneva aste, sitä enemmän lohkot limittyvät (Thomson ). Näin, paitsi aivan alussa ja lopussa aikasarjan, data-arvot, jotka ovat voimakkaasti kapeneva yhdessä lohkossa ovat kevyesti kapeneva toisessa lohkossa, joten intuitiivisesti olemme takaisin “information” menetetty kapeneva yhden lohkon lohkojen päällekkäisiä se. Koska se voidaan toteuttaa laskennallisesti tehokkaalla tavalla (käyttäen nopeaa Fourier-muunnosalgoritmia) ja koska se pystyy käsittelemään hyvin pitkiä aikasarjoja (tai aikasarjoja, joiden aika vaihtelee spectmm), WOSA-arviointijärjestelmä on perusta monille markkinoilla toimiville kaupallisille spektrianalysaattoreille.

missä nn on lohkojen kokonaismäärä ja s on kokonaisluvun muutoskerroin, joka täyttää 0<s≤ns ja s(nB-1)=n-ns (huomaa, että J=0: n lohko käyttää tietoarvoja χ1,…, Xns, kun taas lohko J=nB – 1uses Xn-ns+1,…, Xe).

(tässä ht = 0 määritelmän mukaan kaikilla t> ns). Jos erikoistumme 50% lohkon päällekkäisyyteen (Eli s=ns/2) Hanning-datataperin kanssa (yleinen suositus insinöörikirjallisuudessa), tätä voidaan approksimoida yksinkertaisella kaavalla v≈36nb21(19nb-1). Näin ollen, kun lohkojen lukumäärä NB kasvaa, vastaavat vapausasteet kasvavat myös, jolloin saadaan spektri-estimaattori, jonka varianssi on pienentynyt. Ellei SX (⋅): llä ole suhteellisen ominaisuuksetonta sdf: ää, emme kuitenkaan voi tehdä NB: stä mielivaltaisen pientä ilman, että yksittäisissä suorissa spektriestimaattoreissa esiintyy vakavaa harhaa lähinnä erotuskyvyn menetyksen vuoksi. (Lisätietoja edellä mainituista tuloksista , KS. kohta 6. 17.)

kuvassa 8 (b) on wosa-spektriestimaattori wire-aaltomittaridatalle (kiinteä käyrä). Tällä sarjalla on n=4096 tietoarvoa. Jotkut kokeet osoittivat, että lohkokoko ns=256 ja Hanning data kartio ovat kohtuullisia valintoja arvioitaessa sdf välillä 0.4-4.0 Hz käyttäen WOSA. Kun lohko on 50% päällekkäinen, vaihtokerroin on s = ns / 2=128; lohkojen kokonaismäärä on nB=1_δ(n−ns)+1=31; ja v, ekvivalentti vapausaste, on noin 59. Ne 31 yksittäistä suoraa spektriestimaattia, jotka laskettiin yhteen wosa-estimaatin muodostamiseksi, esitetään kuvan 8(b) pisteinä.

olemme myös piirtäneet” kaistanleveyden/luottamusvälin “ristiin rastiin, joka on samanlainen kuin kuvassa 8(a), mutta nyt” kaistanleveys ” (eli vaakasuora leveys) on suunnilleen korrelaatiottomien spektriestimaattien välinen etäisyys taajuudessa. TH is mitta kaistanleveys on funktio lohkon koko ns ja tietojen kartio käytetään wosa. Hanning kartio, kaistanleveys on Noin 1.94 / (nsΔt). Kuvien 8(a) ja 8(b) risteytykset ovat melko samanlaisia, mikä osoittaa, että postvärillisen Parzen lag-ikkunan ja WOSA-spektriarvioiden tilastolliset ominaisuudet ovat vertailukelpoisia: varsinaiset arviot ovatkin pitkälti yhteneväiset, WOSA-arvio on hieman tasaisemman näköinen.

Multitaper-Spektriestimaattorit. Mielenkiintoinen altematiivi joko lag-ikkunalle tai WOSA-spektriarviolle on Thomsonin multitaper-lähestymistapa . Multitaper-spektri-estimointia voidaan pitää keinona tuottaa suora spektriestimaattori, jolla on enemmän kuin kaksi ekvivalenttia vapausastetta (tyypilliset arvot ovat 4-16). Näin ollen multitaper-menetelmä eroaa hengeltään kahdesta muusta estimaattorista siinä, että sillä ei pyritä tuottamaan erittäin tasoitettuja spektrejä. Vapausasteiden nousu 2: sta vain 10: een riittää kuitenkin kutistamaan SDF: n 95 prosentin luottamusvälin leveyttä yli suuruusluokan ja siten vähentämään spektriarvion vaihtelua siinä määrin, että ihmissilmä pystyy helposti hahmottamaan kokonaisrakenteen. Yksityiskohtaiset keskustelut multitaper lähestymistapa on esitetty ja Luku 7,. Tässä me vain luonnostelemme pääideat.

(Thomson kannattaa mukautuvaa s^k,X(mt)(f) painotusta sen sijaan, että ne yksinkertaisesti laskettaisiin keskimäärin yhteen). Vertaamalla tätä määritelmää s^k, X (mt) (⋅) ja Eq. (118) osoittaa,että S^K, X(mt) (⋅) on itse asiassa vain suora spektri-estimaattori, joten multitaper-estimaattori on vain keskiarvo suorista spektri-estimaattoreista, jotka käyttävät ortonormaalista kartioiden joukkoa. Tietyissä lievissä olosuhteissa, ortonormaalisuus kapenee taajuusalueen likimääräinen riippumattomuus kunkin yksittäisen s^k, X (mt) (f); toisin sanoen, s^j.X(mt) (f). Likimääräinen riippumattomuus puolestaan merkitsee,että 2KS^k, X(mt)(f)/SX(f)=dx22k likimäärin, niin että S^X(mt)(F): n ekvivalenttinen vapausaste on yhtä suuri kuin kaksi kertaa käytettyjen tietojen määrä.

KTH-kertaluvun dpss-kartioleikkaus on sananmukaisesti “optimaalinen” siinä rajoitetussa merkityksessä, että sen spektriikkunan sivulohkot suppenevat niin paljon kuin mahdollista konsentraatiosuhteella mitattuna. Menetelmät laskettaessa dpss tietojen kartioita käsitellään, Luku 8.

useissa papereissa Slepian (ja viittaukset siihen) on tutkinut laajasti dpss: n luonnetta. Eräs tärkeä seikka, jota hän käsittelee, on se,että konsentraatiosuhde λk(n,W) pienenee tiukasti K: n kasvaessa siten, että λk(n, W) on lähellä yhtenäisyyttä K: lle<2NW Δt, jonka jälkeen se lähestyy nopeasti arvoa 0 kasvaen k: n kanssa (arvoa 2nWΔt kutsutaan joskus Shannonin luvuksi). Koska λk (n,W): n on oltava lähellä yhtenäisyyttä,jotta {ht, k} olisi kunnollinen tietojen kartio, multitaper-spektri— estimointi rajoittuu korkeintaan-ja käytännössä yleensä vähemmän-2nwδt: n ortonormaalisiin dpss-kartioihin.

kuvassa 9 on esimerkki multitaper-spektriarvioinnista. Käyrien vasemmanpuoleisessa sarakkeessa esitetään k: nnen kertaluvun dpss-datatapetit arvoille n=4096, nW=4/Δt ja k, jotka vaihtelevat arvosta 0 (ylin kuvaaja) arvoon K-1=5 (alin kuvaaja). Kunkin havaintoalan ohuet vaakasuorat viivat osoittavat nollatasoa, joten siinä missä zerothin kertaluvun dpss on kaikkialla ehdottoman positiivinen (mutta melko lähellä 0: ta lähellä T=1 ja t=n), korkeamman kertaluvun kapeet olettavat sekä positiivisia että negatiivisia arvoja. Huomaa myös, että aikasarjan zeroth-kertaluvun kartio, joka on lähellä T=1: tä ja t=n: ää, on voimakkaasti alipainoinen, mutta että nämä arvot saavat perättäin enemmän painoarvoa korkeamman kertaluvun kapenemisella (yksi tulkinta moniajamisesta on se, että korkeampi kertaluku karkaisee takaisin tietoja, jotka “menetetään”, kun käytetään vain yhtä tietojen karkaisua). Kuvan 9(b) kiinteä käyrä esittää monitahoisen spektriarvion S^X(mt)(⋅) johtimen aaltomittaridatalle, joka perustuu näihin 6 DPSS: n kapeneviin, kun taas pisteet osoittavat kuusi yksittäistä suoraa spektriarviota s^K. X(mt)(⋅). Huomaa, että käyttämiemme kapeiden määrä on alle Shannonin luvun 2nWΔt=8 ja että v, ekvivalentti vapausaste, on tässä 2K=12. Multitaperin spektriarvio on ulkonäöltään paljon chopperimpi kuin joko kuvan 8(a) lag-ikkunan spektriarvio tai kuvan 8(b) Wosa-estimaatti, joissa molemmissa on huomattavasti suurempi määrä vastaavia vapausasteita ( v=64 ja v=59). Multitaperin spektriarvion vaihtelu on kuitenkin riittävän pieni, joten silmä voi helposti havaita kokonaisrakenteen (vrt. S^X (mt) (⋅) kahden spektriarvion kanssa kuvassa 5), Ja koska se ei ole kovin tasoitettu, multitaper-estimaatti onnistuu huomattavasti paremmin vangitsemaan spektrirakenteen lähelle f=0.

Kuva.9. Multitaper-spektrin estimointi

bronez [16] väittää suorituskyvyn rajojen perusteella, että multitaper-spektriestimaattorilla on tilastollisia ominaisuuksia, jotka ovat wosaa parempia sdfs: ssä, jolla on erittäin suuret dynaamiset alueet (tarvitaan kuitenkin enemmän tutkimusta, jotta voidaan varmistaa, että näistä raja-arvoista on todellista hyötyä käytännössä). Esivalkaisuun verrattuna moniajo on hyödyllistä tilanteissa, joissa vuoto on concem, mutta esivalkaisusuodattimien huolellinen suunnittelu ei ole käytännöllistä (tämä tapahtuu esimerkiksi tutkimusgeofysiikassa rutiininomaisesti kerättyjen aikasarjojen valtavan määrän vuoksi). Lopuksi toteamme, että Thomson ja Chave [17 kuvaa Houkutteleva järjestelmä, jossa multitapering käytetään yhdessä WOSA.