Kongruenssirelaatio

kongruenssin määritelmä riippuu tarkasteltavan algebrallisen rakenteen tyypistä. Erityisesti määritelmät kongruence voidaan tehdä ryhmiä, renkaat, vektori välilyöntejä, moduulit, semigroups, lattices, ja niin edelleen. Yleinen teema on, että Kongruenssi on algebrallisen olion ekvivalenssirelaatio, joka on yhteensopiva algebrallisen rakenteen kanssa siinä mielessä, että operaatiot ovat hyvin määriteltyjä ekvivalenssiluokille.

esimerkiksi joukko on algebrallinen olio, joka koostuu joukosta yhdessä yhden binäärioperaation kanssa ja täyttää tietyt aksioomat. Jos G {\displaystyle G}

on ryhmä , jolla on operaatio ∗ {\displaystyle \ast }

, kongruenssirelaatio g {\displaystyle G}

on ekvivalenssirelaatio ≡ {\displaystyle \equiv }

g {\displaystyle G}

täyttävä g 1 ≡ g 2 {\displaystyle g_{1}\equiv g_{2}\ \ \,}

ja h 1 ≡ h 2 ⟹ g 1 ∗ h 1 ≡ g 2 ∗ h 2 {\displaystyle \ \ \, h_{1}\equiv H_{2} \ merkitsee g_{1}\ast h_{1}\equiv g_{2}\ast h_{2}}

kaikille g 1 {\displaystyle g_{1}}

, g 2 {\displaystyle g_{2}}

, h 1 {\displaystyle h_{1}}

, h 2 ∈ g {\displaystyle h_{2}\in G}

. Ryhmän kongruenssissa identiteettielementin sisältävä ekvivalenssiluokka on aina normaali aliryhmä, ja muut ekvivalenssiluokat ovat tämän aliryhmän cosetteja. Yhdessä nämä ekvivalenssiluokat ovat osamääräryhmän alkioita.

kun algebrallinen rakenne sisältää useamman kuin yhden operaation, kongruenssisuhteiden on oltava yhteensopivia jokaisen operaation kanssa. Esimerkiksi renkaalla on sekä yhteen-että kertolasku, ja renkaan kongruenssirelaation on täytettävä

r 1 + s 1 ≡ R 2 + s 2 ja r 1 s 1 ≡ R 2 s 2 {\displaystyle r_{1}+s_{1}\equiv r_{2}+s_{2}{\text{ ja }}r_{1}\equiv r_{2} \ equiv r_{2} \ equiv r_ {1} \ equiv r_ {2} s_ {2} \ equiv r_ {2} \ equiv r_ {2} \ equiv r_ {2} \ equiv r_ {2} \ equiv r_ {2} \ equiv r_ {2}{2}}

kun r 1 ≡ R 2 ja S 1 ≡ s 2 {\displaystyle r_{1}\equiv r_{2}{\text{ ja }}s_{1}\equiv s_{2}}

. Renkaan kongruenssille ekvivalenssiluokka, joka sisältää arvon 0, on aina kaksipuolinen ideaali, ja ekvivalenssiluokkien joukon kaksi operaatiota määrittelevät vastaavan osamäärärenkaan.

kongruenssirelaation yleiselle käsitteelle voidaan antaa formaali määritelmä universaalin algebran yhteydessä, joka tutkii kaikille algebrallisille rakenteille yhteisiä ajatuksia. Tässä asetelmassa kongruenssirelaatio on ekvivalenssirelaatio ≡ {\displaystyle \equiv }

algebrallisessa rakenteessa , joka täyttää μ ( A 1, A 2,…, A n) μ μ ( A 1′, A 2′,…, A n ‘ ) {\displaystyle \mu \left(a_{1}{\text {,}} a_{2}{\text {,}} \ldots {}{\text {,}} a_{n}\right)\equiv \mu \left(a_{1}'{\displaystyle\mu\left teksti {,}} a_{2}'{\text {,}}\ldots {} {\text {,}} a_{n}’ \ right)}