Konjugaattimuuttujia

konjugaattimuuttujia on monenlaisia riippuen siitä, millaista työtä tietty systeemi tekee (tai joutuu). Esimerkkejä kanonisesti konjugoiduista muuttujista ovat seuraavat:

• aika ja taajuus: mitä kauemmin nuottia pidetään yllä, sitä tarkemmin tiedämme sen taajuuden, mutta se kestää pitempään ja on siten ajallisesti hajautetumpi tapahtuma eli “välitön”. Kääntäen, hyvin lyhyt nuotin tulee vain klikkaus, ja niin on ajallisesti lokalisoitu, mutta ei voi määrittää sen taajuus kovin tarkasti.
• Doppler and range: mitä enemmän tiedämme tutkan kohteen etäisyydestä, sitä vähemmän tiedämme lähestymisen tai vetäytymisen tarkasta nopeudesta ja päinvastoin. Tällöin Dopplerin ja kantaman kaksiulotteinen funktio tunnetaan tutkan moniselitteisyysfunktiona tai tutkan moniselitteisyysdiagrammina.
• Pintaenergia: γ dA (γ = pintajännitys; a = pinta-ala).
• Elastinen venytys: F dL (F = Elastinen voima; L Pituus venytetty).

Aktion derivaatat

klassisessa fysiikassa Aktion derivaatat ovat konjugaattimuuttujia sille suureelle, jonka suhteen differentioidaan. Kvanttimekaniikassa näitä samoja muuttujapareja suhteuttaa Heisenbergin epävarmuusperiaate.

• hiukkasen energia tietyssä tapahtumassa on kyseisen hiukkasen kyseiseen tapahtumaan päättyvän liikeradan mukaisen vaikutuksen derivaatta suhteessa tapahtuma-aikaan.
• hiukkasen lineaarinen liikemäärä on sen toiminnan derivaatta suhteessa sen sijaintiin.
• hiukkasen kulmamomentti on sen toiminnan derivaatta suhteessa sen orientaatioon (kulmasuunta).
• massamomentti ( N = t p-E r {\displaystyle \mathbf {n} =t\mathbf {p} – E\mathbf {r} }
  

  ) on sen toiminnan derivaatta suhteessa sen nopeuteen.

• tapahtuman sähköinen potentiaali (φ, jännite) on sähkömagneettisen kentän vaikutuksen derivaatta suhteessa (vapaan) sähkövarauksen tiheyteen kyseisessä tapahtumassa.
• magneettinen potentiaali (A) tapahtumassa on sähkömagneettisen kentän vaikutuksen derivaatta suhteessa (vapaan) sähkövirran tiheyteen kyseisessä tapahtumassa.
• sähkökenttä (E) tapahtumassa on sähkömagneettisen kentän vaikutuksen derivaatta suhteessa sähköiseen polarisaatiotiheyteen kyseisessä tapahtumassa.
• tapahtuman magneettinen induktio (B) on sähkömagneettisen kentän vaikutuksen derivaatta kyseisen tapahtuman magnetoinnin suhteen.
• Newtonin gravitaatiopotentiaali tapahtumassa on Newtonin gravitaatiokentän vaikutuksen derivaatta suhteessa kyseisen tapahtuman massatiheyteen.

Kvanttiteoreettiset muuttujat

kvanttimekaniikassa konjugaattimuuttujat realisoituvat havaittavien pareiksi, joiden operaattorit eivät kommutoi. Tavanomaisessa terminologiassa niiden sanotaan olevan yhteensopimattomia havainnoitavia. Tarkastellaan esimerkiksi sijainnin ( x ) {\displaystyle \left(x\right)}

and momentum (p) {\displaystyle \left(P\right))}

. Kvanttimekaanisessa formalismissa kaksi havaittavaa x {\displaystyle x}

ja p {\displaystyle p}

vastaavat operaattoreita x ^ {\displaystyle {\widehat {x}}}

ja p ^ {\displaystyle {\widehat {p\,}}}

, jotka välttämättä täyttävät kanoninen kommutaatio suhde: = x ^ p ^ − p ^ x ^ = i ℏ {\displaystyle ={\widehat {x}}{\widehat {p\,}}-{\widehat {P\,}}{\widehat {x}}=i\hbar }

jokaista kahden toimijan ei-nollakommutaattoria kohti on olemassa “epävarmuusperiaate”, joka nykyisessä esimerkissämme voidaan ilmaista muodossa:

Δ x Δ p ≥ ℏ / 2 {\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2}

tässä huonosti määritellyssä notaatiossa Δ x {\displaystyle \Delta x}

ja Δ p {\displaystyle \Delta p}

merkitsevät “epävarmuutta” X: n samanaikaisessa määrittelyssä}

ja p {\displaystyle p}

. Tarkempi ja tilastollisesti täydellinen, standardipoikkeaman σ {\displaystyle \sigma }

sisältävä lausunto kuuluu seuraavasti: σ x σ p ≥ ℏ / 2 {\displaystyle \sigma _{x}\sigma _ {p}\geq \hbar /2}

yleisemmin, mille tahansa kahdelle havaintoesineelle A {\displaystyle A}

ja B {\displaystyle B}

vastaavat operaattoreita A ^ {\displaystyle {\widehat {A}}}

ja b ^ {\displaystyle {\widehat {B}}}

, yleisen epävarmuusperiaatteen antaa: σ A 2 σ B 2 ≥ (1 2 I⟨ ⟩) 2 {\displaystyle {\Sigma _ {A}}^{2} {\Sigma _{B}} ^ {2}\geq \left({\frac {1}{2i}} \ left \ Langle \ left \ right \ rangle \right)^{2}}

nyt oletetaan, että meidän oli nimenomaisesti määritellä kaksi erityistä toimijaa, jotka antavat kullekin tietyn matemaattisen muodon siten, että pari täyttää edellä mainitun kommutaatio suhteessa. On tärkeää muistaa, että meidän erityinen “valinta” operaattorit vain heijastaa yksi monista vastaavia, tai isomorfinen, representaatioita yleisen algebrallinen rakenne, joka pohjimmiltaan luonnehtii kvanttimekaniikka. Yleistyksen tarjoaa muodollisesti Heisenbergin Lie-algebra h 3 {\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}}