Miten saan monimutkaisen yhtälön ratkaisun?

Johdanto

päivitys 6/2014

alun perin löysin kolme ratkaisua, nyt niitä on kuusi. Luulin tietäväni, että niitä on kolme, koska järkeistämällä yhtälöstä saadaan polynomi, jonka aste on 24 ja NSolve, löydetään 24 juurta ja poistetaan sitten juuret, jotka eivät olleet alkuperäisen yhtälön nollia. Kävi ilmi, että yhtälö oli hankala numerotiedon näkökulmasta ja minulta jäi kolme väliin.

muut muutokset:

• tuntuu luonnollisemmalta käyttää Rationalize kertoimia tässä tapauksessa täsmällisiksi luvuiksi kuin SetPrecision.

• samoin korvasin First @ eq Subtract @@ eq.

järkeistää yhtälö

on pidettävä mielessä, että dokumentaation mukaan NSolve

NSolve käsittelee ensisijaisesti lineaarisia ja polynomiyhtälöitä.

OP: n yhtälö on algebrallinen yhtälö, joka voidaan muuttaa polynomiyhtälöksi, jonka NSolve voi sitten ratkaista helposti. Koska NSolve ei tee tätä yksin, meidän on järkeistettävä ” käsin.”Rationalisoinnilla on taipumus ottaa käyttöön vieraita ratkaisuja, joten on tarkistettava NSolvemennessä palautetut vastaukset. Hieman ikävät kertoimet eq vaikeuttavat, sillä järkeistettäessä eq pyöristysvirhe johtaa siihen, että osa neliöjuurista ei kumoa kuten pitäisi. Voimme korjata sen asettamalla tarkkuuden eq tasolle Infinity.

voimme löytää neliöjuuret lausekkeessa expr, jossa

DeleteDuplicates @ Cases, Infinity]

sitten jokaiselle neliöjuurelle voimme kertoa expr lausekkeella, jossa neliöjuuri korvataan sen negatiivisella ja yksinkertaistetaan.

alla on tulos menetelmän soveltamisesta funktioon, joka saadaan korvaamalla Equal eq Subtract Apply (@@). Voimme ratkaista yhtälön tasan.

eqExact = Rationalize;rationalized = Simplify @ Fold &, eqExact, DeleteDuplicates@Cases, Infinity]];rootsRatExact = Solve;rootsRat = NSolve(* 24 roots {{ζ -> -24559.6 + 24559.6 I}, <<22>>, {ζ -> 24559.6 - 24559.7 I}}*)

näiden kahden ratkaisun välillä on joitakin merkittäviä eroja:

(ζ /. rootsRat) - (ζ /. rootsRatExact) // Abs // Max(* 3.15226*10^-10*)

valitaan annetun yhtälön juuret

päivitys: tässä kohtaa jäin nollille.

valitsin Pick juurekset, joilla alkuperäinen yhtälö eq on pieni arvo, pienempi kuin jokin pieni kynnys, vaikkapa 10^-1. Voimme tarkistaa myöhemmin, että jokainen on juuri, mutta en tarkistanut muita juuria. Alkuperäiset juuret olivat:

rootsEq = Pick < 10^-1 /. rootsRat](* {{ζ -> -3.78042 - 5.50655 I}, {ζ -> -3.20562 + 5.39914 I}, {ζ -> 6.98478 + 0.493405 I}}*)

nämä vastaavat juuret 7, 9, ja 20 vuonna rootsRat:

Position < 10^-1 &)](* {{7}, {9}, {20}}*)

jos tarkistan tarkan yhtälön nollille, joilla on PossibleZeroQ, saan lisää juuria:

Position(* {{1}, {7}, {9}, {14}, {20}, {21}}*)

kestää ikuisuuden näissä mahdollisissa juurissa, tai ainakin kauemmin kuin olin valmis odottamaan.]

mielenkiintoista on, että nämä lisäjuuret liittyvät NSolve: n palauttamien tulosten eroihin ja Solve:

Position, _?Positive](* {{1}, {2}, {3}, {14}, {21}, {22}, {23}, {24}}*)

Let ‘ s let our new roots be the following and we can check them below:

rootsEqNew = Pick];rootsEqNew // N(* {{ζ -> -24559.6 + 24559.6 I}, {ζ -> -3.78042 - 5.50655 I}, {ζ -> -3.20562 + 5.39914 I}, {ζ -> -0.0832786 - 722.827 I}, {ζ -> 6.98478 + 0.493405 I}, {ζ -> 722.642 - 0.100823 I}}*)

Checks

aluksi, at ei näytä liian hyvältä uusille lisäyksille:

eqExact /. rootsEqNew // N(* { 0. + 9.7614*10^12 I, (* {1} *) -1.49012*10^-8 + 3.91155*10^-8 I, (* {7} *) -1.39698*10^-8 - 3.63216*10^-8 I, (* {9} *) -2. + 1536. I, (* {14} *) 1.49012*10^-8 + 1.11759*10^-8 I, (* {20} *) 0. + 1024. I} (* {21} *)*)

ongelmana on yhtälön arviointi konetarkkuudella.

N(* N::meprec warning about $MaxExtraPrecision being reached *)(* {0``69.62973568978663 + 0``69.69302870899077 I, 0``90.5174054423328 + 0``90.55817837498498 I, 0``90.50250822096415 + 0``90.54414468499085 I, 0``80.1824915073549 + 0``79.76650578675965 I, 0``90.47483650216002 + 0``90.49782363232914 I, 0``80.17292602755023 + 0``79.76710897249409 I}*)

varoitus ei vaikuta merkittävältä. Korotus $MaxExtraPrecision arvoon 2000 tuottaa edelleen varoituksen ja nollat, joiden tarkkuus on noin 2020 arvoon 2040. Jos ne ovat nollia, N todennäköisesti tuottaa aina varoituksen, koska ei voi olla Precision (muu kuin MachinePrecision).