suljetun pinnan intuitio [suljettu]

jos olisi pallomainen paperinpala, mikä tahansa paperin kohta olisi kaksiulotteisen paperin ympäröimä. Voisit leikata pienen ympyrän, jonka keskellä on piste. Jos sinulla olisi normaali paperiarkki, suurin osa paperista olisi tuollaisia, mutta siellä olisi raja, jossa pisteissä on vain paperia toisella puolella ja voisit vain leikata puoliympyrän. Sitä “raja” tarkoittaa, kun käsitellään pintoja.

valitettavasti näyttämäsi määritelmä on epätäydellinen. Myös suljetun pinnan on oltava kompakti. Lempimääritelmääni olisi todella vaikea selittää, mutta jos et käytä jotain todella outoa tapaa mitata etäisyyttä, yksinkertaisempi riittää. Se on suljettu ja rajattu (ei yhteyttä “suljettu” ja “raja” olen jo maininnut). “Suljettu” tarkoittaa tässä sitä, että kaikki piste, joka ei ole paperilla, on kokonaan sellaisten pisteiden ympäröimä, jotka eivät ole paperilla, joten ei voi olla vain normaali paperiarkki, josta vain reuna puuttuu, joten sillä ei ole teknisesti mitään rajaa. “Rajattu” tarkoittaa, että se ei jatku loputtomiin mihinkään suuntaan, joten lentokonetta ei laskettaisi.

Edit:

lienee hyvä selittää, miksi kompakti on juttu. Jos katsoo avointa intervallia nollasta Ykköseen, se on rajattu. Se ei jatku ikuisesti. Mutta voit ottaa jatkuva funktio se (joka säilyttää kaikenlaisia rakenteita matemaatikot rakastavat) ja saada jotain, joka jatkuu ikuisesti. Esimerkiksi $f(x) = 1/x$ on jatkuva kyseisellä aikavälillä, ja kartoittaa sen avoimelle aikavälille $(1,\infty)$. Jos käyttää suljettua intervallia, ei niin voi tehdä. Mikä tahansa jatkuva funktio $$ kartoittaa sen rajattuun joukkoon. Voisi sanoa $1/0 = \infty$, ja topologists usein tehdä, mutta lisäämällä ääretön kuin että sotkee noin rakenteen todellinen linja niin paljon, että olet vähemmän tehdä $$ ääretön kuin teet todellinen linja rajallinen.

kompaktilla tarkoitetaan sitä, että kyseessä on joukko, jossa äärellisyys on rakenteelle luontaista tavalla, jota ei voi muuttaa jokin niinkin yksinkertainen kuin jatkuva funktio.

suljettu pinta on sellainen, joka ei jatku ikuisesti, mutta jossa ei myöskään ole reunoja. Se vain kiertää itseään kuin pallo.