Kongruencia reláció

a kongruencia meghatározása a vizsgált algebrai struktúra típusától függ. A kongruencia sajátos definíciói készíthetők csoportok, gyűrűk, vektorterek, modulok, félcsoportok, rácsok stb. A közös téma az, hogy a kongruencia egy ekvivalencia reláció egy algebrai objektumon, amely kompatibilis az algebrai struktúrával, abban az értelemben, hogy a műveletek jól definiáltak az ekvivalencia osztályokon.

például egy csoport egy algebrai objektum, amely egy halmazból áll, egyetlen bináris művelettel együtt, kielégítve bizonyos axiómákat. Ha G {\displaystyle G}

egy csoport , amelynek operációja a {\displaystyle \AST }

, egy kongruencia reláció a G {\displaystyle G}

egy ekvivalencia reláció a {\displaystyle \equiv }

a G {\displaystyle g}

elemein, amelyek kielégítik g 1-et, g 2-t, {\displaystyle g_{1}\ekvivalens g_{2}\ \ \,}

és h 1 (h) 2 (h) 1 (h) 1 (h) 1 (h) 2 (h) 2 (h) {\displaystyle \ \\, h_ (1) \ egyenlő (H) {2 (2) \ magában foglalja a (z) g_ (1) \ ast h_{1} \ equiv g_{2} \ ast h_{2}}

minden g 1 {\displaystyle g_{1}}

, g 2 {\displaystyle g_{2}}

, h 1 {\displaystyle h_{1}}

, h 2 db g {\displaystyle h_{2}\in G}

. Egy csoport kongruenciája esetén az identitáselemet tartalmazó ekvivalencia osztály mindig normális alcsoport, a többi ekvivalencia osztály pedig ennek az alcsoportnak a koszettjei. Ezek az ekvivalenciaosztályok együttesen egy hányadoscsoport elemei.

ha egy algebrai struktúra egynél több műveletet tartalmaz, akkor a kongruencia kapcsolatoknak kompatibilisnek kell lenniük az egyes műveletekkel. Például egy gyűrű összeadással és szorzással is rendelkezik, és a gyűrű kongruencia relációjának meg kell felelnie

r 1 + s 1 r 2 + s 2 és r 1 s 1 r 2 s 2 {\displaystyle R_{1} + s_{1} \ equiv r_{2}+s_{2} {\text{ and }}r_{1}s_{1} \ equiv R_{2}s_{2}}

minden alkalommal, amikor r 1-es és s 1-es számú, s 2-es számú, {\displaystyle r_{1} \ ekvivalens r_{2} {\text{ és }}s_{1} \ ekvivalens s_{2}}

. Egy gyűrű kongruenciája esetén a 0-t tartalmazó ekvivalenciaosztály mindig kétoldalas ideál, és az ekvivalenciaosztályok halmazán végzett két művelet határozza meg a megfelelő hányadosgyűrűt.

a kongruencia-reláció általános fogalma formális meghatározást kaphat a egyetemes algebra, egy olyan terület, amely az összes algebrai struktúrában közös ötleteket tanulmányoz. Ebben a beállításban a kongruencia reláció ekvivalencia reláció (ekvivalencia reláció) = = {\displaystyle \ equiv }

egy algebrai struktúrán , amely kielégíti A ( Z) (A 1, a 2,…, a n) (a 1′, a 2′,…, a n’) {\displaystyle \mu \left(a_{1}{\text {,}} a_{2}{\text {,}} \ldots {}{\text {,}} a_{n}\right)\equiv \mu \left (a_{1}'{\text {,}}} a_{2}'{\text {,}} \ldots {} {\text {,}} a_{n}’\right)}