konzisztens becslő
11.2.3 Szóráscsökkentés
az 5.és 6. ábrán látható huzalmérő sorozat spektrális becsléseinek felületes vizsgálata jelentős változékonyságot tár fel a frekvenciák között, olyannyira, hogy a spektrális becslések általános szerkezetét meglehetősen sok tanulmány nélkül nehéz megkülönböztetni. Minden közvetlen spektrális becslő szenved ettől a benne rejlő szaggatottságtól, ami az S^X(d)(f) eloszlási tulajdonságainak figyelembe vételével magyarázható. Először is, ha f nem túl közel van a 0-hoz vagy f (N)-hez, és ha SW (Ft) kielégít egy enyhe szabályossági feltételt, akkor 2S^w(D) (f)/Sw(f)=dx22; azaz a rv 2s^w(d) (f)/Sw(f) eloszlása megközelítőleg megegyezik egy 2 szabadságfokú khi-négyzet alakú rv-vel. Ha nem alkalmaznak kúposságot, akkor f “nem túl közel” 0-hoz vagy f(N), ha 1/(n-p)ons<F<f(N)-1/(n-p); ha elvékonyodást használunk, akkor az 1/(n-p)Xhamstert egy nagyobb kifejezéssel kell helyettesítenünk, tükrözve a spektrális ablak középső lebenyének megnövekedett szélességét (például a Hanning-adatok kúpos kifejezése körülbelül 2/(n-p)kb, így f “nem túl közel”, ha 2/(n-p)ons<f<f(N)-2/(n-p)ons).
mivel a chi-négyzet rv xv2 val vel v szabadságfokok varianciája 2U, megvan a közelítés V=Sw2 (f). Ez az eredmény független a Wt számától, van: az olyan statisztikákkal ellentétben, mint a független és azonos eloszlású Gauss-féle RV-k mintaátlaga, az S^W(d)(f) varianciája nem csökken 0-ra, mivel az N-p mintaméret nagyobb lesz (kivéve az érdektelen SW(f)=0 esetet). Ez az eredmény magyarázza az 5.és 6. ábrán látható közvetlen spektrális becslések szaggatottságát. Ban ben statisztikai terminológia, S^W (d) (f) egy következetlen becslő nak, – nek Sw (f).
most három megközelítést vázolunk fel az SW(f) következetes becslésének megszerzéséhez. Mindegyik megközelítés azon RV-k kombinálásán alapul, amelyek megfelelő feltételezések mellett az SW(f) megközelítőleg páronként korrelálatlan becslőinek tekinthetők. Röviden, A három megközelítés a
1
sima S^W(d)(f) frekvenciákon, így az úgynevezett a lag ablak spektrális becslő;
2
{Xt} (vagy {Wt}) számos szegmensbe (amelyek közül néhány átfedésben lehet), kiszámítja a közvetlen spektrális becslés minden szegmensre, majd átlagolja ezeket a becsléseket együtt, így Welch átfedésben van szegmentaveraging (WOSA) spektrális becslő;
3
számítson ki egy sor közvetlen spektrális becslést a {Wt} – re ortogonális adatok kúpos készletének felhasználásával, majd átlagolja ezeket a becsléseket együtt, így Thomson multitaper spektrális becslője.
Lag ablak spektrális Becslők a lag ablak spektrális becslője SW (6) formája
ahol WM (6) egy simítóablak, amelynek simító tulajdonságait az m simító paraméter vezérli. Szavakkal, a becslő S^W (LW) ( ++ ) úgy kapjuk meg, hogy egy simító ablakot konvolválunk a közvetlen spektrális becslővel S^w(d) ( ++ ). Egy tipikus simító ablak nagyjából ugyanolyan megjelenésű, mint egy spektrális ablak. Van egy acentrális lebeny, amelynek szélessége az M simítási paraméterrel állítható: minél szélesebb ez a központi lebeny, annál simább lesz S^W(w) (Davis). Ott is lehet egy sor bosszantó sidelobes okozó simító ablak szivárgás. A kisimító ablakszivárgás jelenléte könnyen kimutatható az S^W(LW) (!) és S^W(d) (!) (!!!) diagramok átfedésével, és olyan frekvenciatartományok keresésével, ahol az előbbi nem tűnik az utóbbi simított változatának.
Ha volna egy AR prewhitening szűrő, akkor postcolor S^W(lw) (⋅), hogy szerezzen egy becslő, az Sx(⋅), nevezetesen,
A statisztikai tulajdonságait S^W(lw)(.) a következő nagy minta eredménye miatt kezelhetők. Ha S^W(D) (6) valójában a periodogram (azaz nem szűkítettük a Wt értékeit), akkor az RV−k halmaza S^W(d) (j/(n-p) 6T), j=1,2,…, j,, megközelítőleg páronként korrelálatlanok, mindegyik rv arányos a 222, RV-vel (itt J a legnagyobb egész szám, így J/(n-p)<1/2). Ha kúpos formát használtunk Sw(d) (6), hasonló állítás igaz egy kisebb RV-készletre, amelyet egy egyenlő távolságra elhelyezkedő frekvenciák durvább rácsán határozunk meg-a kúposság mértékének növekedésével a hozzávetőlegesen korrelálatlan RV-k száma csökken. Abból a feltételezésből kiindulva, hogy az SDF SW (Ft) lassan változik a frekvenciák között (az előfehérítés segít ezt valóra váltani), és hogy a simítóablak központi lebenye kellően kicsi az SW(Ft) variációihoz képest, ebből következik, hogy S^W(D) (f) Az Eq-ban. (11.15) lehet közelíteni egy lineáris kombinációja korrelálatlan adapterek 222 rvs. Ezután egy szabványos “egyenértékű szabadságfokok” argumentum használható az S^W(lw)(f) eloszlásának közelítésére. (lásd Eq. (11.17) később).
az S^W(LW) számítási módnak két gyakorlati módja van (!). Az első módszer az Eq diszkretizálása. (11.15.ábra), így egy Becslőt kapunk, amely arányos a forma konvolúciójával Kb(f−fk’) SW(d) (fk’), ahol az értékek offk’ egyenlő távolságra lévő frekvenciák néhány halmaza. A második módszer arra emlékeztetni, hogy “az egyik Fourier-domén konvolúciója egyenértékű a másik szorzásával” az EQ átírásához. (11.15)mint
, ahol c^++.W (d), az EQ-ban megadott acvs-becslő. (11.9) megfelelő S^W (d) (.) és {wt.m} egy késleltetési ablak(ez a simító ablak inverz Fourier-transzformációjának tekinthető WM (ons)). Valójában, mert S^W (d) (.) egy trigonometrikus polinom, az összes diszkrét konvolúció a következő formában: ons (F-fk’) S^W(d) (fk’) EQ-n keresztül is kiszámítható. (11.16.) a wt,m értékek megfelelő megválasztásával (a részleteket lásd a 6.7.szakaszban). A számítástechnika két gyakorlati módja S^W(l, w) (.) így egyenértékű becslőket eredményez. Hacsak a diszkrét konvolúció nem elég rövid, Eq. (11.16) számítási szempontból gyorsabban használható.
a statisztikai elmélet azt sugallja, hogy ésszerű feltételezések mellett
jó közelítésre,ahol v az S^W(lw)(f) egyenértékű szabadságfokainak nevezzük, és a v=2(n−p)BW. Itt Bw egy intézkedés a sávszélesség a simító ablak Wm (6) a) n d lehet számítani keresztül BW=1 / 6T Ca=−(n−p−1)n−p-1WT, m2;;másrészt a Ch csak a WT értékeire alkalmazott kúposságtól függés kiszámítható ch=(n-p) 1=p+1nht4vegye figyelembe, hogy ha nem kifejezetten kúposodunk, akkor ht=1/n−pand ezért Ch>1; egy tipikus adatkúp esetében a Cauchy-egyenlőtlenség azt mondja nekünk, hogy Ch>1(például Ch 6,94 a Hanning-adatkúp esetében). Az S^W(lw)(f)ekvivalens szabadságfoka tehát növekszik, ahogy növeljük a simító ablak sávszélességét, és csökken, ahogy növeljük a kúposság mértékét. A (11.17) egyenlet azt mondja nekünk, hogy E (E) és V(E) és V (E) és V (E) és V (E) és V (E) és V (E) és V (E) és V (E), tehát V (V) és V (V).
a közelítés Eq. (11.17) használható az SW (f)konfidencia intervallumának felépítésére a következő módon.Jelöljük NV-vel a xv2-Eloszlás 100% – os százalékpontját, azaz P=6-at.Az A100 (1-2!)% – os konfidencia intervallumot az Sw (f) esetében megközelítőleg a
a százalékpontokat sok tankönyvben táblázatba foglaljuk, vagy best és Roberts által megadott algoritmussal számíthatjuk ki
a (11,18) konfidencia intervallum kényelmetlen, mivel hossza arányos az S^W(LW)(F) értékkel. Másrészt a megfelelő konfidencia intervallum 10-re.log10(Sw(f)) (azaz SW (f) egy decibel skálán) csak
amelynek szélessége független S^W(lw)(.). Ez az indoklás az sdf becsléseinek decibel (vagy logaritmikus) skálán történő ábrázolásához.
a szakirodalomban megdöbbentő számú különböző lag ablakot tárgyaltak (lásd ). Itt csak egy példát adunk, a jól ismert Parzen fag ablakot (Parzen ):
, ahol m egy pozitív egész számra τ=τ/m. Ez a hacs ablak könnyen kiszámítható, valamint sidelobes, akinek a borítékot bomlik, mint az f-4 tehát, hogy a kiegyenlítő ablak szivárgás ritkán van probléma. Jó közelítés esetén a Parzen lag ablak simító ablak sávszélességét a Bw=1,85 / (m) adja meg. Ahogy m növekszik, a simító ablak sávszélessége csökken, és a kapott lag ablak becslő kevésbé sima megjelenésű. A kapcsolódó ekvivalens szabadságfokokat körülbelül v=3,71(n-p)/(mCh) adja meg. Az m=32 parzen lag ablaka és a hozzá tartozó simító ablak a 7.ábrán látható.
Fig.7. Parzen lag ablak (a) és a megfelelő simító ablak (b) m = 32 esetén. A simító ablak sávszélessége: bw = 0,058.
például a 8. ábra (a) egy postcolored lag ablakbecslőt mutat a huzalhullámmérő adataihoz (a szilárd görbe), valamint a megfelelő postcolored direct spectral becslő(a pontok, ezek ugyanazt a becslést ábrázolják, mint a 6.ábra (b)). A Parzen lag ablakot itt m = 237 értékkel használtuk a simító ablak paraméterhez (a megfelelő egyenértékű v szabadságfok 64). Ezt az értéket néhány kísérlet után választották ki, és úgy tűnik, hogy egy lag ablakbecslőt állít elő, amely rögzíti a közvetlen spektrális becslő által jelzett összes fontos spektrális jellemzőt a 0,4 és 4,0 Hz közötti frekvenciákra (vegye figyelembe azonban, hogy ez a becslő meglehetősen rosszul keni ki a 0,0 és 0,4 Hz közötti csúcsot). Azt is ábrázoltuk, amelynek függőleges magassága a 95% – os konfidencia intervallum hosszát jelenti 10 db log10(SX(f)) esetén (a postcolored lag ablakbecslő alapján), vízszintes szélessége pedig a simító ablak sávszélességét BW
Fig.8. Postcolored Parzen lag ablak spektrális becslés-szilárd görbe a telek (a)-és WOSA spektrális becslés—szilárd görbe (b) – vezetékes hullámmérő idősorok. A parzen lag ablak simító ablak paramétere m = 237 volt, így v = 64 ekvivalens szabadságfokot kapott. A wosa spektrális becslést a Hanning adatok kúpos 256 adatponttal rendelkező blokkokon, a szomszédos blokkok 50% – kal átfedésben. Ennek a becslésnek az egyenértékű szabadságfoka v = 59.
Wosa spektrális becslések. Vizsgáljuk meg most a variancia csökkentésének második közös megközelítését, nevezetesen a Welch átfedéses szegmens átlagolását (Welch; Carter és az ott található hivatkozások). Az alapötlet az, hogy egy idősort több blokkra (pl., szegmensek), kiszámítja a közvetlen spektrális becslés minden blokkhoz, majd előállítja a WOSA spektrális becslés ezen spektrális becslések együttes átlagolásával. Általánosságban elmondható, hogy a blokkok átfedésben vannak, az átfedés mértékét a kúposság mértéke határozza meg—minél nehezebb a kúposság mértéke, annál inkább át kell fedni a blokkokat (Thomson ). Így, kivéve az idősorok legelején és végén, az egyik blokkban erősen kúpos adatértékek enyhén kúposak egy másik blokkban, így intuitív módon visszaszerezzük az “információkat”, amelyek elvesznek egy blokkban az átfedő blokkokból. Mivel számítási szempontból hatékony módon valósítható meg (a gyors Fourier-transzformációs algoritmus), és mivel nagyon hosszú idősorokat (vagy idősorokat képes kezelni időben változó spektrummal), a wosa becslési séma az alapja számos kereskedelmi spektrumanalizátornak a piacon.
a wosa spektrális becslő meghatározásához legyen ns blokkméret, és legyen h1,…, a hns legyen adatkúp. Az SX(f) közvetlen spektrális becslőjét az l indextől kezdődő ns összefüggő adatértékek blokkjára úgy definiáljuk, mint
(nincs ok arra, hogy miért nem használhatunk előfehér sorozatot {Wt} itt az Xt helyett, de az előfehérítést ritkán használják a WOSA-val együtt, talán azért, mert a blokk átfedését hatékony módszernek tekintik a elvékonyodás miatt elvesztett szabadságfokok kompenzálására). Az SX(f) wosa spektrális becslője
ahol nn a blokkok teljes száma, s pedig egy 0<s-t kielégítő egész eltolási tényező, ns és s(nB-1)=n-ns (vegye figyelembe, hogy a j=0-ra vonatkozó blokk az adatértékeket használja, a (6),…, Xns, míg a blokk j = nB-1használja Xn-ns + 1,…, Xe).
az S^X(wosa)(f) nagy minta statisztikai tulajdonságai nagyon hasonlítanak a lag ablak becslőire. különösen azt a közelítést kapjuk, hogy VS^X(wosa)(f)/Sx(f)=dXv2,, ahol az ekvivalens szabadságfokokat v
(itt ht = 0 definíció szerint minden t>ns). Ha az 50% – os blokk átfedés esetére szakosodunk (azaz s=ns / 2) Hanning-adatokkal kúpos (a mérnöki szakirodalomban gyakori ajánlás), akkor ezt az egyszerű képlettel lehet közelíteni v 36nb21(19nb-1). Így az nB blokkok számának növekedésével az ekvivalens szabadságfokok is növekednek, csökkentett varianciájú spektrális becslőt eredményezve. Kivéve, ha az SX-nek (xhamsternek) viszonylag jellegtelen sdf-je van, az nB-t azonban nem tehetjük önkényesen kicsivé anélkül, hogy az egyes közvetlen spektrális becslőkben súlyos elfogultságot okoznánk, főleg a felbontás elvesztése miatt. (A fenti eredményekre vonatkozó részleteket lásd a 6.17. szakaszban.)
a 8. (b) ábra egy wosa spektrális becslőt mutat a huzalhullámmérő adataihoz (a szilárd görbe). Ennek a sorozatnak n = 4096 adatértéke van. Néhány kísérlet azt mutatta, hogy az NS=256 blokkméret és a Hanning-adatok kúpossága ésszerű választás az sdf 0,4 és 4,0 Hz közötti becsléséhez WOSA használatával. 50% – os blokk átfedés esetén az eltolódási tényező s=ns / 2=128; a blokkok teljes száma nB=1_(N−ns)+1=31; és v, az ekvivalens szabadságfokok, körülbelül 59. A 31 egyedi közvetlen spektrális becslést, amelyeket együtt átlagoltak a WOSA-becslés kialakításához, a 8(b) ábra pontjaiként mutatjuk be.
a 8(a) ábrához hasonló “sávszélesség/konfidencia intervallumot” is ábrázoltunk, de most a “sávszélesség” (azaz a vízszintes szélesség) a frekvencia távolsága a megközelítőleg korrelálatlan spektrális becslések között. A sávszélesség mértéke az NS blokkméret és a wosa-ban használt adatkúp függvénye. A Hanning kúpos, a sávszélesség körülbelül 1,94 / (nsinct). A 8. A) és a 8. b) ábra keresztezései meglehetősen hasonlóak, ami azt jelzi, hogy a postcolored Parzen lag ablak és a wosa spektrális becslések statisztikai tulajdonságai összehasonlíthatók: valóban, a tényleges becslések szorosan egyetértenek, a WOSA-becslés kissé simább megjelenésű.
Multitaper Spektrális Becslések. Érdekes altematív a lag window vagy a WOSA spektrális becsléshez a Thomson multitaper megközelítése . A Multitaper spektrális becslés úgy tekinthető, mint egy közvetlen spektrális becslő előállításának módja, amely nem csupán két ekvivalens szabadságfokkal rendelkezik (a tipikus értékek 4-16). Mint ilyen, a multitaper módszer szellemében különbözik a másik két becslőtől, mivel nem törekszik erősen simított spektrumok előállítására. A szabadság fokának 2-ről 10-re történő növekedése azonban elegendő ahhoz, hogy az sdf 95% – os konfidencia intervallumának szélességét több mint nagyságrenddel csökkentsük, és ezáltal csökkentsük a spektrális becslés változékonyságát addig a pontig, ahol az emberi szem könnyen felismerheti a teljes szerkezetet. A multitaper megközelítésről szóló részletes megbeszéléseket a fejezet tartalmazza 7 nak, – nek . Itt csupán felvázoljuk a fő ötleteket.
a Multitaper spektrális becslés a K adatok kúpos készletének használatán alapul {ht.k; t=1,…, n}, ahol k 0-tól K-1-ig terjed. Feltételezzük, hogy ezek a kúpok ortonormálisak (azaz, ha j=k=1nht,jht,k=1, ha j = k és 0, ha j = k). A legegyszerűbb multitaper becslést a
( Thomson az S^K,X(mt)(f) adaptív súlyozását javasolja, ahelyett, hogy egyszerűen átlagolnák őket). Ennek a definíciónak az összehasonlítása az S^K,X (mt) (kb) – val Eq. (118) azt mutatja,hogy az S^K, X(mt) (ons) valójában csak egy közvetlen spektrális becslő, tehát a multitaper becslő csak egy átlagos közvetlen spektrális becslő, amely ortonormális kúpkészletet alkalmaz. Bizonyos enyhe körülmények között a kúpok ortonormalitása a frekvenciatartományba fordul, mint az egyes egyének hozzávetőleges függetlensége s^k, X(mt) (f); azaz S^j.X(mt) (f). A hozzávetőleges függetlenség viszont azt jelenti,hogy 2ks^k, X(mt)(f)/SX(f)=dx22k megközelítőleg, így az S^X(mt)(f) egyenértékű szabadságfoka megegyezik az alkalmazott adatkeskenyítők számának kétszeresével.
a legfontosabb trükk akkor az, hogy megtaláljuk a K ortonormális szekvenciák halmazát, amelyek mindegyike megfelelő munkát végez. Az egyik vonzó megközelítés az, hogy retum, hogy a koncentráció probléma, hogy adott nekünk a DPSS kúpos egy fix felbontású sávszélesség 2W ha most hivatkozunk erre a kúpos, mint a nulla rendű dpss kúpos, és jelölje meg {h,, ()}, akkor rekurzívan építeni a fennmaradó K – 1″ magasabb rendű ” dpss kúpos {ht,k} az alábbiak szerint. Mert k=1,…, K-1, A K-edik rendű dpss kúpot definiáljuk n számok halmazaként {ht,k;t=1,…, n} oly módon, hogy
1
{ht, k} ortogonális az egyes k szekvenciákra {ht, ()},…, {ht, (k−1)}azaz, d=11ht.Jht.k=0 mert j=0,…, k-1);
2
{ht, k} úgy normalizálódik, hogy közben t = 1nht, k2=1;
3
feltételektől függően] és 2, a HK színképablak ( ++ ) a {ht-nek felel meg.k} maximalizálja a koncentrációs arányt
szavakban, figyelemmel arra a kényszerre, hogy merőleges legyen az összes alacsonyabb rendű dpss kúpra, a kth rendű dpss kúp “optimális” abban a korlátozott értelemben, hogy spektrális ablakának oldalgömbjeit a koncentráció arányával mérve a lehető legnagyobb mértékben elnyomják. A dpss-adatok kúpos számításának módszereit a 8. fejezet tárgyalja.
egy sor papírok, Slepian (és hivatkozásokat ott) alaposan tanulmányozta a természet dpss. Az egyik fontos tény,amelyet megbeszél,az, hogy a koncentrációs Arány kb(n, W) szigorúan csökken, Amikor k növekszik oly módon, hogy az ONS(N, W) közel áll az egységhez k<2NW Ca), amely után gyorsan megközelíti a 0-t a K növekedésével (a 2NW Ca (n, w) értéket néha Shannon-számnak hívják). Mivel az(N,W)-nek közel kell lennie az egységhez ahhoz,hogy a {ht, k} megfelelő adatkúp legyen, a multitaper spektrális becslés legfeljebb— és a gyakorlatban általában kevesebb-2NW-os (n, W) ortonormális dpss-kúpok használatára korlátozódik.
a multitaper spektrális becslésre egy példát mutatunk be a 9.ábrán. A parcellák bal oldali oszlopában a K. sorrendű dpss-adatok kúposak az n=4096, nW=4 / Xhamstertés k 0-tól (felső telek) K-1=5-ig (alsó telek). A vékony vízszintes vonalak mindegyik ábrán a nulla szintet jelzik, így míg a nulla rendű dpss mindenhol szigorúan pozitív (de nagyon közel van a 0-hoz t=1 és t=n közelében), a magasabb rendű kúpok mind pozitív, mind negatív értékeket feltételeznek. Vegye figyelembe azt is, hogy a nulladik sorrendű kúp erősen csökkenti a T=1 és t=n közeli idősorok értékeit, de ezeket az értékeket egymás után nagyobb súlyt adják a magasabb rendű kúpok (a multitapering egyik értelmezése az, hogy a magasabb rendű kúpok visszaszerzik az “elveszett” információkat, ha csak egyetlen adatkúpot használnak). A 9(b) ábrán látható szilárd görbe többlapos spektrális becslést mutat S^X(mt) (ons) a huzalhullám-mérő adatok e 6 dpss-kúpok alapján, míg a pontok a hat egyedi közvetlen spektrális becslést mutatják S^K. X(mt) (6). Vegyük észre, hogy az általunk használt kúpok száma a Shannon-szám alatt van 2NW enterpris=8, és hogy v, az ekvivalens szabadságfokok itt 2K=12. A multitaper spektrális becslés megjelenésében sokkal szaggatottabb, mint a 8.ábra(a) lag ablak spektrális becslése vagy a 8. ábra(b) wosa becslése, mindkettőnek jelentősen nagyobb az ekvivalens szabadságfoka ( v=64, illetve v=59). Mindazonáltal a multitaper spektrális becslés változékonysága elég kicsi ahhoz, hogy a szem könnyen felismerje a teljes szerkezetet (vö. S^X(mt) (6. ábrán látható két spektrális becsléssel), és mivel nem nagyon simított, a multitaper becslés jelentősen jobban képes megragadni a spektrális struktúrát F = 0 közelében.
Fig.9. Multitaper spektrális becslés
a teljesítményhatárok alapján Bronez [16 azzal érvel, hogy a multitaper spektrális becslő statisztikai tulajdonságokkal rendelkezik, amelyek felülmúlják a wosa-t a nagyon magas dinamikus tartományú SDF-ek esetében (további kutatásokra van szükség azonban annak igazolására, hogy ezek a határok tényleges előnyt jelentenek-e a gyakorlatban). Az előfehérítéshez képest a multitapering hasznos olyan helyzetekben, amikor a szivárgás concem, de nem célszerű gondosan megtervezni az előfehérítő szűrőket (ez például a feltárási geofizikában fordul elő a rutinszerűen összegyűjtött idősorok hatalmas mennyisége miatt). Végül megjegyezzük, hogy Thomson és Chave [17 olyan vonzó sémát ír le, amelyben a multitaperinget a WOSA-val együtt használják.
