Closed surface intuition [closed]

Se si avesse un pezzo di carta sferico, qualsiasi punto della carta sarebbe circondato da carta su due dimensioni. Si potrebbe tagliare un piccolo cerchio con quel punto al centro. Se tu avessi un normale foglio di carta, la maggior parte della carta sarebbe così, ma ci sarebbe un confine in cui i punti hanno solo carta su un lato e potresti solo tagliare un semicerchio. Questo è ciò che significa “confine” quando si tratta di superfici.

Sfortunatamente, la definizione che stai mostrando è incompleta. Anche una superficie chiusa deve essere compatta. La mia definizione preferita sarebbe davvero difficile da spiegare, ma se non stai usando un modo davvero strano di misurare la distanza, uno più semplice sarà sufficiente. Deve essere chiuso e limitato (nessuna relazione con il “chiuso” e il “confine” che ho già menzionato). “Chiuso” qui significa che qualsiasi punto non sulla carta è completamente circondato da punti non sulla carta, quindi non puoi semplicemente avere un normale foglio di carta in cui manca solo il bordo, quindi tecnicamente non ha confini. “Limitato” significa che non va avanti per sempre in nessuna direzione, quindi un aereo non conterebbe.

Edit:

Penso che sia probabilmente utile spiegare perché compact è una cosa. Se guardi un intervallo aperto da zero a uno, è limitato. Non va avanti per sempre. Ma puoi prenderne una funzione continua (che preserva tutti i tipi di strutture che i matematici amano) e ottenere qualcosa che va avanti per sempre. Ad esempio, f f(x) = 1/x is è continuo su quell’intervallo e lo mappa all’intervallo aperto interval(1,\infty)$. Se usi un intervallo chiuso, non puoi farlo. Qualsiasi funzione continua di $ $ la mapperà a un insieme limitato. Potresti dire $1/0 = \ infty$, e i topologi lo fanno spesso, ma l’aggiunta di un’infinità del genere incasina la struttura della linea reale così tanto che stai facendo meno infinite infinito di quello che stai facendo la linea reale finita.

Compact significa che hai a che fare con un insieme in cui l’essere finito è inerente alla struttura in un modo che non può essere modificato da qualcosa di semplice come una funzione continua.

Una superficie chiusa è quella che non va avanti per sempre ma non ha bordi. Si gira su se stesso come una sfera.